Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим громадную интенсивность ударных волн в тяжелых жидкостях, например в воде. Примером может служить явление гидравлического удара, появляющееся в трубопроводе, если мгновенно остановить движущуюся по нему воду, закрыв кран. Возникающие при этом резкие повышения давления мої ут служить причиной серьезных аварий в водопроводных сетях, в подводящих аппаратах гидра-влических турбин и др.
Гидравлический удар представляет по своей природе не что иное как результат возникновения и распространения ударной волны сжатия в воде. Значительная эффективность гидравлического удара объясняется, во-первых, значительной плотностью воды (в 800 раз превышающей Длотность воздуха), а также большими скоростями распространения 186
одномерный поток идеальной жидкости
{гл. lty
возмущений (скорость звука в воде примерно в 4*/2 раза больше чем в воздухе).
Теория гидравлического удара аналогична теории ударной волны в газе, но имеет и некоторые специфические особенности, связанные с существенной деформацией стенок трубы при тех громадных давлениях, которые возникают при гидравлическом ударе.
Создателем современной теории гидравлического удара по праву может быть назван наш великий ученый Н. Е. Жуковский, который исследовал распространение ударных волн вдоль труб, наполненных водой, и провел замечательные наблюдения гидравлического удара в трубах по заданиям московского водопровода. 1 Н. Е. Жуковским предложена простая формула повышения давления Др при гидравлическом ударе:
A
где V0— потерянная скорость воды, X — скорость распространения ударной волны, равная
X = -J- 2/?t>PoV \ k ' еЕ J
Здесь р0 и k — плотность и модуль упругости воды, R0 и е — радиус и толщина стенки трубы, E — модуль упругости материала трубы.
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие газа. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых
потоках
Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение идеального газа и предположим, что где-то вдоль трубки тока или струи газа происходит изэнтропическое (без скачка уплотнения или других причин для превращения механической энергии в тепловую) торможение газа, приводящее газ к покою. Установим простые формулы связи параметров изэнтропически заторможенного газа T0, р0, р0, а0 с текущими их значениями Т, р, р, а в сечениях рассматриваемой трубки тока.
Возьмем основную формулу закона сохранения энергии
-g- -}- JcpT = const
и определим константу из условия: при V=O, T=T0; тогда получим:
T0= Т+щ-= т(\ Jr
1H. Е. Жуковский, О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. Бюлл. Политехнич. об-ва № 5, 1899, стр. 255—290. См. также „Избрав руе сочинения", т. II, ОГИЗ, 1948, ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл 187
или, замечая, что по (17) гл. III и по определению местной адиабатической скорости звука
JcnT =^r-kRT-.
P ~~ W k— \ »
найдем искомое выражение температуры изэнтропически заторможенного газа:
= -j- = т(1 + М«), (66)
а следовательно, и соответствующую скорость звука
/ ь_і \V«
= + . (67)
Из уравнения изэнтропической адиабаты и уравнения Клапейрона
P-^fJjf X. = J-. JL
Po \ Po) ' Po Po * T-O
сразу следует:
откуда, используя (66), найдем выражения остальных параметров изэнтропически заторможенного газа:
к
+ м»)*-1, (69)
Po =
= p(l+-^-M»)* \ (70)
Формулы (66), (69) и (70) являются основными во всех расчетах одномерных течений газа.
Из формулы (70) следует, что при значениях числа М, меньших единицы, имеет место разложение в рад:
P-I m^.
— I--T+ ••¦
Отсюда можно сделать вывод, что, полагая в модели несжимаемой жидкости р = const = P0," делают тем меньшую ошибку, чем меньше число M в движущемся газе. Так, например, для того чтобы ошибка не превосходила 1°/0, число M должно быть меньше 0,14, а это соответствует в случае воздуха при нормальных условиях верхней границе допустимых скоростей 50 м/сек. Следует заметить, что даже при скорости в 100 м/сек ошибка не превосходит 4%.
Легко также видеть, что при малых значениях числа M формула (69) переходит в обычную формулу Бернулли (58) гл. III для несжимаемого 188
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
газа. Действительно, разлагая при малых M правую часть (69) в ряд, получим:
или, замечая еще, что по определению числа M и адиабатической скорости звука
1 р.Л.._ЬР У* V*_kp 2
2 2 k?- 2 ~~ 2
P
получим
PfZL- = I + Xм2+ ••• і PV
При M = O1 будем иметь формулу (58) гл. III для несжимаемой жидкости:
р-1- |-р F2 = p0—const.
Ошибка, которую при этом делают, принимая'газ несжимаемым,
имеет порядок ^-M2, т. е. в два раза меньше ошибки в изменении
плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкости в случае воздуха, движущегося при нормальных условиях со скоростью 100 м/сек, сделаем ошибку порядка 2%. Как известно, в капельных жидкостях скорость звука больше, чем в газах. В воде, например, скорость звука достигает значения 1500 м/сек, т. е. почти в 5 раз превышает скорость звука в воздухе. Таким образом, воду можно рассматривать как несжимаемую жидкость при скоростях, доходящих до 500 м/сек; такие скорости на практике еще не наблюдаются.
