Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^ = O dt '
т- е. к стационарности поля плотностей среды.
Уравнения в напряжениях (29) на основании таблицы (53) дают следующую систему основных уравнений равновесия среды:
дх'
oF =-?
„F _ dP I
(56) 106
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
называемых уравнениями Эйлера равновесия жидкости или газа. Система (56), очевидно, эквивалентна одному векторному уравнению
pF = gradp, (57)
которое можно было и сразу вывести из (37), заметив, чго но (53), (31), (55) и интегральной формуле (70) гл. I:
DivP = Div (— рЩ = Iim -L Г -
Дт-»0 J
и
= — lim І" nPda = -S1^P-
Дт-»0 аХ -I
Q
Наконец, уравнение баланса энергии (45) дает тепловое условие равновесия жидкости или газа
c*Tt=q'
которое, при наличии только теплопроводности приводится по (48) к уравнению:
pc,,^=div(Xgrad7), (59)
а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоянным [см. формулу (49)] — к уравнению:
Tt = ^T, (60)
где постоянный коэффициент а называют коэффициентом температуропроводности.
Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной форме (57). Простыми операциями из него можно исключить плотность и давление. Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного равенства (57) операцию вихря rot, тогда р пропадет, так как rot grad р = 0; будем иметь
rot (pF) = 0
или, раскрывая скобки по известному правилу векторного анализа, получаем
р rot F -f- grad р X F — 0. (61)
Умножим теперь обе части этого равенства скалярно на F; тогда, заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно своему сомножителю F, найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равновесие жидкости или газа:
F-rotF= 0, (62) § 17] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО состояния 107
ИЛИ, В проекциях на оси декартовых координак
ZdFe dFy\ ,SFx Щ SdIy дГх\
К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (62), относятся прежде всего силы, имеющие потенциал II, так как для них
F = —grad П, rotF=0.
В этом случае, как легко усмотреть из равенства (61),
grad р Xgradn = 0, (63)
откуда следует, что силовые линии поля потенциальных объемных сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотности), а также, что изостеры совпадают с изопотенциальными поверхностями силового поля.
Из (57) следует еще, что при равновесии среды силовые линии перпендикулярны изобарам (поверхностям одинакового давления). Таким образом, вообще, при равновесии жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил изопотенциальные поверхности поля совпадают с изобарами и изостерами.
Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под действием потенциального поля объемных сил. Действительно, по условию,
grad р X grad р = 0
или по (57)
FXgradp = O,
отсюда, на основании (61), вытекает
rotF = 0, F = —grad П.
Если в движущемся или покоящемся газе плотность является функцией только давления, то такой процесс движения или равновесия называется баротропным. Из предыдущего следует, что баро-тропное равновесие газа возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии р = р (р) изобары и изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое поле должно быть потенциальным.
Более общее условие (62) имеет смысл требования существования в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям,1 причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать с изостерами.
1 См. Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, Курс теоретической меха-
Вики, ч. IL 1940, изд. 3, стр. 164, V ' 108
основные уравнения движіния и равновесия
[гл. и
Система уравнений (57), как уравнений в полных дифференциалах, представляет лишь одну связь между двумя неизвестными величинами р и р, уравнение (59) — также одно уравнение с двумя неизвестными X и Т. Чтобы сделать систему уравнений равновесия определенной, необходимо добавить еще уравнение состояния газа, называемое обычно уравнением КлапеИрона:
f = RT, (64)
и уравнение зависимости коэффициента теплопроводности от температуры:
I = I (T). (65)
Если равновесие баротропно, то
P = HP)- (66)
Это имеет место, например, в следующих случаях:
1) газ несжимаем, г. е. имеет повсюду одинаковую плотность
р — const;
2) равновесие изотермическое, при котором
T = const = T0,
а следовательно, по (64):
P = ^- = Const.,(67)
3) равновесие адиабатическое (без притока тепла извне), отвечающее известной из курса термодинамики адиабате:
р = const .р* = (68)
Po
іде k—показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостек газа при постоянном давлении Cv и постоянном объеме cv; для воздуха k = 1,405. Значения величин р0, р0, T0 относятся к какой-нибудь одной характерной точке покоящегося газа.
Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) и (59) при тех или иных дополнительных связях между термодинамическими элементами р, р и Т.
