Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
R = — -у Jnzda, L = —-у JrXn^dc. (88)
а о
Если поверхность а представляет как угодно наклоненную плоскую стенку, то п = const и первая из формул (88) дает
R = —Тпгс-а, я = тгГс.0) (89)
Где гс (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С площади а. Равенство (89) показывает, что главный вектор сил давления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно наклоненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой — глу-инУ центра тяжести площадки под свободной поверхностью 118
основныр уравнения движения и равновесия fl-л. 11
Этот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и получил естественное для своего времени наименование гидростатического парадокса.
Вектор-радиус гц и координаты центра давления Ц—так называют точку приложения равнодействующей R системы параллельных сил давления на площадку — можно найти по теореме о моменте равнодействующей:
ruXR = -l Jr Xnz do. (90)
а
Возьмем в плоскости расположения площадки а следующую систему координат: ось Oy' проведем вдоль линии пересечения плоскости
Pm. 29.
со свободной поверхностью, ось Ox'—по перпендикуляру к оси Oy' вглубь жидкости, ось Oz'—по нормали к площадке вниз. Замечая, что п = — к', и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости:
х — х' cos 0, г == х' sin 0, у — у',
получим, проектируя (90) на новые оси,
УJi=ifygda> Kfi ~ т J x'zda' г'ц — °>
а а
или по (89):
fx'* da fx'У'da
<3 , <3
——' У» =
Х.а ч
X,.а
(91)
Обращает на себя внимание факт независимости положения центра давления от наклона площадки. Как показывают формулы (91), давление жидкости на поверхность тела
119
задача об определении центра давления жидкости на наклонную площадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и центробежного момента площади.
Если поверхность о замкнута и ограничивает некоторый конечный объем х, то по (87) и интегральной формуле (70) гл. I получим:
R = — J np do = —- J grad р dx. (92)
а т
В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера (57),
grad p = pg, (93)
где g—вектор ускорения силы тяжести, р — плотность жидкости. Подставляя в (89), найдем
R = -JPgdx = -G. (94)
t
Равенство (94) показывает, что главный вектор сил давления жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по величине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противоположную силе веса. Это — классический закон Архимеда. Силу R иногда называют архимедовой или гидростатической подъемной силой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости, заставить его всплыть. Тяжелое тело, погруженное в жидкость, „теряет" в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.
Легко находится также и главный момент сил давления жидкости на погруженное тело. Имеем по (87) и интегральной формуле.(73) гл. I:
L = — JrXnр da— j п X рт da = J rot (pr) dx
ст а т
или, применяя известную формулу векторного анализа
rot (pr) = р rot г -j grad р X г, приводящую в данном конкретном случае к равенству rot (pr) = — г X grad р,
так как
rot г = 0,
получим
L = -JrX grad р dx,
или, согласно (93),
L = -JrXpgdT, (95)
ч 120
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
Замечая еще, что вектор-радиус гц центра тяжести Ц вытесненного объема равен
Гц U / rpgdx
и что, очевидно,
G
получим по (94):
L=-^frpgdxX G = -r4XG-=r4XR. (96)
t
Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора R сил давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести Ц (рис. 30) вытесненного телом объема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра тяжести погруженного твердого тела С с центром тяжести вытесненного объема жидкости Ц. Погруженное тело, например корабль, может быть неоднородным, с переменным размещением масс в нем; при этом центр тяжести будет занимать различные положения по отношению к твердому телу, центр же тяжести вытесненного жидкого объема зависит от формы внешней поверхности твердого тела и при данной форме этой поверхности будет занимать вполне определенное положение. Если данное твердое тело будет занимать различные положения в жидкости (например качка корабля), го положение центра его тяжести по отношению к телу не меняется, центр же тяжести вытесненного объема будет при этом перемещаться.
По терминологии, установившейся в статике корабля, центр тяжести вытесненного объема жидкости называют центром величины.
Твердое .тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, центр величины окажется на одной вертикали с центром тяжести. Если при этом центр величины лежит выше центра тяжести, то такое равно-іведие будет, очевидно, устойчивым (рис. 30, наверху), если же центр величины окажется расположенным ниже центра тяжести, то такое
R R
/
