Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 30. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ на ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА
121
равновесие будет неустойчивым и пара сил (R, G) опрокинет тело (рис. 30, внизу).
Отклоним плавающее тело на малый угол а от положения равновесия, при котором точки С и Ц лежали на одной вертикальной прямой LL. Через новое положение центра величины Ц' проведем вертикаль до пересечения с отклоненным положением прямой LrL' в точке М, называемой метацентром.1 Расстояние h между метацентром и центром тяжести тела определяет метацентрическую высоту. Пара сил (R, G), в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь момент
L=Gh sin а.
Если метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение равновесия, если метацентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.
Рассмотрим в заключение еще вопрос об определении главного вектора сил давления однородной тяжелой жидкости на погруженное в нее тело при равномерном вращении жидкости вместе с погруженным в нее телом.
Применим вновь формулу (89), но заметим, что в настоящем случае градиент давления по (80) будет равен:
grad P = — р grad П -{- рш2/-* grad г* = pg -j- рш2г *; (97) тогда получим
R = — j [Jgdx — р<о2г dx = — G— р<о2г* • х, (98)
где под г* подразумевается вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения до центра тяжести вытесненного объема Ц и равный по величине этому расстоянию
г; = I Jrrfx. (99)
Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на поверхность тела складывается из архимедовой подъемной силы, аналогичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще до-¦ тлнительной архимедовой силы,
R' = — рш2г*х = — Afeo2I-*, (100)
играющей роль центростремительной силы притяжения тела к оси вращения и равной по величине произведению массы жидкости M
* Предполагается, конечно, что в силу материальной симметрии пересе-е Действительно осуществится, 122
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения и кратчайшее расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости.
Полученный результат можно положить в основу объяснения многих явлений и прежде всего описания процесса центрифугирования. Пусть плотность находящегося в жидкости тела равна р, причем тело будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда, прикладывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу центробежную силу, равную (М — масса тела)
F = Жо)2г* = рш2тг*,
ц 1 ц'
и учитывая вес этого тела Q = Mg, можем судить об относительном равновесии тела в жидкости по разности векторов приложенных к нему сил: веса G и центробежной силы F, с одной стороны, и архимедовых подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна:
G — G + (р — р) (Ar; = (J—р) gx + (р — р) O1V =
= (р — р) (g+ojVi)*-
Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: 1) если плотность вращающихся вместе с жидкостью тел р больше плотности жидкости р, то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости и отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел р меньше плотности жидкости р, то такие тела будут всплывать и приближаться к оси вращения. Так, например, в маслобойных центрифугах зерна образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водянистая сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги.
Как непосредственно следуег из последней формулы, равновесие возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и погруженных в нее тел (р = р). ГЛАВА III
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения движения
Наиболее простой схемой движущейся жидкости является так называемая идеальная жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются от наличия внутреннего трения—вязкости, считая что по площадкам соприкасания двух, друг относительно друга движущихся, объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления и полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадки касательные силы трения.
Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь Pxy == Pyas==z Pyz ^^ Pzy Pzxz^ Pxzz^ 0, (1)
то же допущение отсуі ствия касательных напряжений на наклонной
- к координатным осям площадке дает
Ріки ~ PnflX' Pay ~ Рппу> Pns — PntlZ'
Отсюда, согласно системе равенств (10) гл. II, будем иметь:
Pxx = Pyy = Pzz = Pn' (2)
Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойство идеальной жидкости — независимо or выбора осей координат касательные напряжения в любой точке движущейся идеальной жидкости равны нулю, нормальные — равны между собой, иными словами, нормальное
- напряжение в данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено.
Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной точке потока через „—р". Скалярную величину р будем называть авлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равновесия, выделяется специально, чтобы подчеркнуть противоположность н правления вектора нормального напряжения рга направлению орта нор-
