Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
du
Plt
dp о — ' dt
dw
^at =P^- +
dPxx , , dPyx . дРгх
dx 1 1 ду + дг
dp cry . дРуу . дрЩ)
dx 1 ду ' дг
dp** . дрш і дг
dx 1 ду
(29) ^ 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
95
носит наименование уравнений динамики в напряжениях и играет основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений динамики жидкости и газа.
Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) § 9, то уравнения (29) запишутся в развернутой форме:
'ди , ди , ди
dPxx , dPyx , др
SX
, ди\
-PFfr
дх
dv
dv
, ,/і, , W , dv\ tp
ду
= PfV +
xy
ду
dp.
dz
дх
+ "if +
др.
zy
dz
/dw , dw , dw , dw\
Ki1+?+^+^)=
dp xz
= p Fz
dp
yz
dx
dy
df zz dz
(30)
Для дальнейшего Существенно подробнее рассмотреть механический смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора
<Эр,
___L^J-
дх ' ду *
dpg dz
который, согласно (27), можно представить как предел
Iim
Да
do== Iim
AxJ
Ao
XiPdc
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к боковой поверхности До "произвольно выбранного в данной точке M элементарного обьема Дт, к самому объему Дт, при стягивании поверхности До к точке М. Этот предел можно было бы назвать главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице объема в данной точке потока, а вектор
дУу _, дрл
ч дх 1 дV 1 dz/
Равным вектором поверхностных сил, приведенным к единице массы в данной точке потока.
В отличие от напряжений поверхностных сил Pa,, Pjlf, pz, величины и направления которых зависели от выбора направления осей координат в данной точке или направления наклонной площадки, главный Вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема, 96
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
представляет однозначную векторную функцию координат данной точки пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были приложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными словами, приведенные к единице объема или массы главные векторы поверхностных сил образуют векторное поле, в то время как сами поверхностные силы поля не образуют,
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует на „единичное тело" (единица заряда, единица магнитной массы и т. п.), помещенное в поле, называют напряжением поля; произведение напряжения поля на величину помещенного в поле „тела" (заряд, магнитная масса и т. п.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей со стороны поля на это „тело" (заряд, массу).
Точно так же и главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема, представляет „напряжение", или, чтобы не спутать с использованным ранее термином напряжения для поверхностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интенсивность тля главных векторов поверхностных сил в потоке. Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью объемного действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность соответственно на элемент объема или массы, получим главный вектор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу объема или массы.
Могут быть случаи, когда при наличии поверхностных сил объемное их действие во всем потоке равно нулю-, это имеет место, как в дальнейшем будет показано, например, при безвихревом движении вязкой жидкости.
Введем следующую дифференциальную операцию над тензором напряженности P в предельном интегральном представлении (при стремлении Ьх к нулю Да, как всегда, стягивается к данной точке пространства):
и назовем этот вектор дивергенцией тензора Р. Заглавная буква в символе Div поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции Div от операции div, производимой над векторной функцией.
Как было показано в предыдущем параграфе, тензор напряженности P характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной точке.
Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою векторную* меру неоднородности напряженного состояния, среды. Этой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к единице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, ограничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке
(31) § 15) общие Уравнения динамики сплошной среды
97
Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из равенства нулю дивергенции тензора в некоторой области еще не следует постоянство тензора в этой области.
Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что дивергенция тензора напряженности определяет вектор интенсивности объемного действия поверхностных сил в данной точке потока. Произведение вектора DivZ3Ha элемент объема dx дает главный вектор поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограничивающей элемент dx, а интеграл
