Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений X, мало превышающих значение X= ch S — 1 или 5 = 0, соответствующее отрезку оси Ог, соеди-
1 Я. М. Серебрийский, Обтекание тел вращения. Приклади, матем. и механ., т. VIII, 1944. § 68] обтекание тел йраіденйя большого удлиненна 431
няющему фокусы. Рассматривая значения функций Q (X) и при к,
иК
лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых ? будут иметь ціесто равенства:
Qn = ln| + T„, (66)
где Ч„ И Sa — малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что, согласно равенствам (66), при малых \ все функции Qn и —Si в первом приближении не зависят от индекса п.
Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом приближении будет, согласно (66), иметь вид:
OO
JU п (п + 1) rf|i ' ^0'-'
Ii=I
где производная представляет известную функцию величины
Jj. = cos vj. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов я = W, можно, пользуясь приведенными в § 66 выражениями полиномов Лежандра, написать тождество:
Іпїїт(67')
и—J n—t
из которого можно вывести выражения коэффициентов An череч ап. Так, например, при т — Ь имеем:
л 3,3. 9
Ai = Ci1—O8 -f- gg а6, ла = аа——av
_ 8 32 , _16 . _64
-^S— 5% І5аб' 4-уа4» 5 '—2\аБ'
Представив контур меридионального сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах
ш
^tfaCOS(W-I)Tj, (68)
• M=I
определим тем самым числа ап, а уже после этого, согласно тождеству (67'), и величины коэффициентов An, что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании Удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены ^n и Ьп, что приведет ко второму и следующим приближениям. 432 пространственное безвихревое дви>кенйё [гл. vll
Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура координата X
изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от 1 -f- тр ^mm до 1 ~f Y ?max> при этом [а остается в пределах zt 1; таким образом,
dl yi
можно считать, что производная — имеет порядок Smax, т. е. сравнительно мала. Отсюда следует, что величина
^ti==X-I-U-dp ' " dp
имеет порядок единицы.
Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина
»(« + D^(QnPn) = n(n+i) (?^+dJk мала по сравнению с величиной • Действительно,
dh , 1 4
"Ж" * dJI= ' — Qn=In І-.
Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63)
первый одночлен имеет при малых $ порядок -р, второй — In ™.
Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где ? мало, точное граничное условие поперечного обтекания (63) может быть заменено на приближенное:
CAJ
1 V
w2j(
' Г* ^U _ 1
S2 -J " dp
Ю=1
или
OO
\C*W' (69)
И = 1
Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми коэффициентами An и Cn существует простое соотношение:
А
п(п + 1)'
(69')
В первом приближении обе задачи — продольного и поперечного обтекания — решаются одновременно и сравнительно легким путем. § 69]
метод „особенностей"
433
Изложение приемов построения второго и следующих приближений можно най ги в ранее цитированной статье Я. М. Серебрийского.
Определив коэффициенты An и Cw найдем выражения потенциалов и компонентов скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при любом угле атаки. Отметим, что при всех вычислениях на поверхности
удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для Qn и
приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела X возрастает, и формулы (66) становятся все менее и менее точными.
§ 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи о продольном и поперечном обтекании тел вращения
Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном решении уравиевня Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные „особенности" потока — системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии — непрерывные их распределения.
Предположим для определенности, что на отрезке (—с, + с) оси Oz задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q (г). Тогда потенциал у возмущенного движения, созданного этой системой „особенностей", будет, согласно второй из формул (21) § 61, равен (знак минус введем в определение интенсивности q):
