Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, окончательно общий вид потенциала скоростей будет:
сю ft = 2
и, следовательно, действительно при больших г скорости возмущения имеют порядок
Г-0M-
После этого уже нетрудно доказать и парадокс Даламбера. Применим теорему количества движения в форме Эйлера к объему жидкости, заключенному между контрольными поверхностями а и а0. Будем иметь, обозначая через F главный вектор сил давления, действующих со стороны жидкости на тело:
— J р VnV da0 J рп daQ — F=0,
"о O1I
так как перенос количества движения через поверхность твердого тела о равен нулю.
При отсутствии вихрей в рассматриваемой области течения справедлива теорема Бернулли, дающая формулу связи давления и скорости:
P = Const-j^Tj-.
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим: F = _ JpVnV do0 + Jill n da0.
»0 0O
Разбивая по предыдущему скорость потока на основную скорость натекания V00 и скорость возмущения V', будем иметь:
P = — р Vco J Vn da0 — р J IZwVdo0 +
®0 9O
+ Y J (Voo H- V') • (Voo + VO П da0 =
«о
= — P J VrnVAi0+ P J (Voo • V')ndaQ-{- — J v/2ndo0,
Щ, O0 i 65] общие уравнения осесимметрйчного движения
413
что следует в силу очевидных равенств:
J Vn da0 = О, J
n daQ == 0.
По ранее доказанному скорость возмущения V' имеет при боль-1
ших г величину порядка в то время как элемент интегрирования da0 — порядок г2; отсюда сразу вытекает, что при стремлении г к бесконечности главный вектор F сил давления потока должен быть равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безвихревом обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью, в отсутствие вокруг тела источников либо сто-
вектор сил давления потока на
гело, распространяющееся до бесконечности, например, на „полутело" (рис. 142), зависит от закона возрастания ширины d сечения этого „полутела", с увеличением расстояния z до бесконечности. Так сопротивление полутела, образованного наложением однородного потока на источник, равно нулю.
Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления. 1
§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение цилиндрических координат. Течение сквозь каналы
Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений является движение, симметричное относительно некоторой оси (например, оси Oz), кратко называемое „осесимметричным". Сюда относятся всевозможные движения в соплах круглого сечения, в конфу-зорах и диффузорах, осевого обтекания тел вращения, сигарообразных, дирижабельных и других форм.
Составим общие уравнения осесимметричного движения. Предположим, что в меридиональных плоскостях (рис. 143), образующих с плоскостью хOz угол є, выбрана некоторая, не зависящая от угла є
1 Тщательное исследование вопроса о влиянии формы .полутела" на его сопротивление см. М. И. Г у р е в и ч, Обтекания осесимметричного полутела конечного сопротивления. Приклади, матем. и механ., т. XI, № 1, 1947.
Парадокс Даламбера доказан только для тела конечных размеров, ограниченного замкнутой поверхностью. Главный
кое, главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.
Рис. 142. 414
пространственное везвихрьвое движение
[гл. Vli
система ортогональных криволинейных координат q{, qs. Тогда будем иметь в каждой из меридиональных плоскостей:
г* =s г* (q1, <7g), z = z (<71; </2),
и вообще для любой точки М:
x = r*{qx, <72) cos є, y = r*(qv q2) sine, z = z(qu q2);
отсюда по формулам (2) § 60 легко найти коэффициенты Ляме:
/(0+(0+(0-/ С
Hs = H,=
ydqj
дє)
(46)
Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет, согласно равенству (12) § 60, иметь вид:
JL(Hlr* ІїЛ
dqi KH1 dqj
+
A (1Ji r* h:
dqi 1/4 dq%
:0,
(47)
так как третий
член равенства (12), заключающий производную
по координате е, в силу принятой осевой симметрии движения обращается в нуль.
Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что уравнение осе-симметричного движения (47), составленное в координатах q1 и </2, не совпадает с уравнением плоского движения в тех же координатах; точно так же и сами движения: пространственное осесимметричное течение вдоль тела вращения и плоское обтекание меридионального сечения этого тела отличаются друг от друга и не могут даже приближенно сопоставляться. Так, напомним, что распределение скоростей по поверхности сферы оказалось совершенно отличным от соответствующего распределения в плоском обтекании круглого цилиндра: максимальная скорость в первом случае
Рис. 143. § ()f) j OfelltML УРАВНЕНИЙ ОСЕСИММЕ ГРИЧНОї О ДВИЖЕНИЯ 415
равнялась трем вторым от скорости набегающего потока, во втором — удвоенной скорости того же потока. Разница в уравнениях такого рода движений сразу видна из уравнений (46) и (47). В случае плоского движения коэффициент Ляме Hs оказался бы равным единице, а не ґ (qu q-i), и уравнение (47) приняло бы вид:
