Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 66. Осеснмметрнчное продольное обтеканне тел вращения. Случай эллипсоида вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (рис. 147 а) возьмем в меридиональных плоскостях (г*, г) эллиптическую систему координат (?, Yj), связанную с (г*, z) соотношениями [вспомнить формулы (51") § 40 гл. V]:
Z = CChicosї], 0^sSсо,
Г* = C Sh ? Sin Yj, 0 Yj 2Я,
где величина с представляет расстояние фокусов семейства координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат. Положим:
ch 5 = X, cos Tj = [а, 1 -сХ-соо, — 1<ц< + 1;
Тогда связь между координатами (г*, z) и (X, jj.) будет иметь вид:
г* = CYki-z = сХ[х,
Tl/l-JxS, J
(53)
27* 420 пространственноь безвихревое движение
Определив производные:
/" IiZTT
-fV-V "йгз-
дк
-Cl
V х- — і'
дг4" ф.
dz dl
U 4.
-c^ Tv =
найдем, согласно (46), коэффициенты Ляме:
„ -.Г(дг* . / dz V Х« — [J.2
' Х2 — 1*
Х8 — 1
[і Л. Vii
(53')
Яє= г* = с/X2—1 j/"l — После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное
уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По (47) получим:
^"^! + !-[(1-,^1=0. (54)
dl
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных X и ц в отделт ности:
V = L(X)Affr);
тогда в уравнении (54) переменные разделятся и из равенства
1 d \/,о u dLl 1 d
L(K) dl
М(іх) dp
§ 66 J продольное обтекание тел вращения 421
в силу независимости X и [і будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной, которую можно выбирать совершенно произвольно. Полагая эту постоянную равной п(п-\- 1), где п — целое положительное число, получим для определения L и M два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа:
^lr]+«(»-: ')i=o, j
i-k-^W]+^+1^=0-] <54)
Этим уравнениям удовлетворяют1 два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода, в частности полиномы Лежандра Pn (х), определяемые равенствами:
P0(AT)=I, Pi(X)=X, P2 (X) = ±(3х2—1),
Рь(х) = ~(5х^—3х), ...
и реккурентным соотношением для вычисления последующих полиномов :
(П 4- 1) Pn+1 (X) = (2П + 1) хРп (X) - «Р„_, (х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn (х), определяемые равенствами:
QoM==YlllJ^Tf' Q1(^) = T*1" "J="} — Q2 (X) = І- (Зх2 - 1) In _I х>
Q3 (X) = I (5х2 - Зх) In ^±1 х2 + 1
и, вообще, Qn(X)=I^ln
При желании можно пользоваться реккурентным соотношением
(п + 1) Qn м (х) = (2п-J- 1) XQn (х) — nQn_ 1 (х),
совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов Лежандра.
Функция Pn, как полином и-ой степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn при этом стремится к нулю, но зато обращается в логарифмическую
А+1 1 1« 22 3s (я - D2 ]
X — 1 х Зх 5х 7х (2я—1) х J
1E. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного анализа, ч. П.
Гостехиздат, 1934, стр. 91 и сл. 422 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
бесконечность при X = :+:1. В случае внешнего обтекания тела координата К = ch ? может достигать бесконечных значений, а координата ц ограничена. Принимая во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т. е. полного обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, можно вне отрезка оси Oz (— с < z < с) представить полный потенциал скоростей в виде суммы потенциалов скоростей возмущенного движения и однородного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности равной Vco и направленной вдоль Oz:
Ф(А, = CV00 [2AnQn(A)Pn(|х)-f ^fl]; (55)
п=о
здесь An — неопределенные коэффициенты, значение которых зависит от формы обтекаемого тела.
Для определения коэффициентов An найдем прежде всего выражение функции тока
По общим формулам (35) § 63 и (53') будем иметь:
п ач d<f
дід. — Ях дХ к 4 дХ ' или, после подстановки разложения (55):
OO
OO m = o
Переписывая второе равенство в виде
со » = I
и полагая коэффициент A0 = 0, подставим под знак суммы выражение для Pn из основного дифференциального уравнения функций Дежаццра (54'):
~ п(п +1) rfp f(1—|lS) § 66 J продольное обтекание тел вращения 423
Тогда будем иметь:
со
?-'«-«'¦-«{Ss^^ilo-rt^]-4
п—1
Интегрируя по ^5 получим окончательное выражение для функции тока:
OO
^-^.^-Dd-^fSjj^^L^t+l]. (56)
«=1
Уравнение „нулевой" поверхности тока будет:
2An dQn йР, і (п + 1) d\ ф.
S 2An dQn dPn t , __
я (n + 1) ~dk du '
п = 1
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов An, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.1
Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость по формуле:
IZ3=FM-V?=JL ет+-i-ЭТ
П — 1
OO
+ (1~ t*2) [ 2 AnQnW ^f+}•
Ji==I
Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание эллипсоида вращения, меридиональное сечение которого имеет уравнением
