Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
7. САМОПОДОБИЕ И ПЕРЕНОРМИРОВКА
Мандельброт [50] предположил, что многие проблемы физикохи-мии полимеров
могут быть рассмотрены, исходя из самоподобных структур, т. е. структур,
которые кажутся нам "теми же самыми" при последовательных геометрических
скейлинговых увеличениях. Эта идея согласуется с теориями скейлинга де
Жена и "гипотезой блобов", обсужденными в разд. 5. Рассмотрим
последовательность блобов, показанную на рис. 5. Если они являются
средним числом п мономеров в расчете на блоб, то предполагается, что
размер блобов равен ~п'. Если считать, что цепь блобов имеет размер,
который масштабируется с показателем v' числа (N/n) блобов, умноженного
на размер блоба, то получаем
<R)n ~ (N/n)v п" ~ л"-*' А" . (20)
Таким образом, вновь получаем < R - А", если мы предполагаем, что v' = v,
т. е. цепь N/n блобов подобна по протяженности
494
Д. Клейн, В. Зайтц
цепи N/n мономеров размером ~п". Поскольку такие рассуждения могут быть
проведены повторно, очевидно, что "гипотеза блобов" подразумевает
самоподобие.
Метод матрицы переноса, обсужденный в предыдущем разделе, может быть
развит для рассмотрения самоподобных структур, скажем для блужданий на
двумерной решетке. Ключевым моментом в этом подходе является то, что, во-
первых, матрицы переноса можно применять не только на прямых лентах, но и
на изогнутых, даже с большим числом изгибов. Во-вторых, такая лента (или
по крайней мере ее отрезок, занятый полимером) рассматривается крк
блуждание без самопересечений с шириной (и размером шага) w. Такое
блуждание без самопересечений следующего, более высокого уровня может
быть теперь уложено на ленте в w раз шире с помощью аналогичных методов
матрицы переноса, и весь процесс "перенормировки" повторяется.
Рассмотрим этот процесс на примере блобов. Матрицы переноса для каждого
блоба построены при осуществлении блуждания от одного края блоба до
другого. Такие матрицы переноса перемножаются совместно всеми возможными
способами для следующего блоба большего размера, и таким образом для него
строится матрица переноса. Для того чтобы исходные блуждания
согласовывались друг с другом на границах, где последовательно
соединяются такие блобы больших размеров, мы введем ограничение, согласно
которому блуждания пересекают эти границы в особых положениях (однородно
распределенных вдоль границы). Такое ограничение сводится к выбору
особого матричного элемента различных произведений матриц переноса для
блобов более низкого уровня, принимая равным ему матричный элемент
матрицы переноса для следующего по размеру блоба. В результате
итерационного процесса могут быть получены характеристики самоподобных
подклассов всех блужданий без самопересечений.
Для гексагональной решетки такой процесс перенормировки был осуществлен
для блобов наименьшего нетривиального размера [37] (с единственным
центральным расположением и его ближайшими тремя соседями). Это дает
величину экспоненты v = 0,8345 для блужданий без самопересечений в
рассматриваемом подклассе. Для хаотически разветвленных полимеров
величина экспоненты v получается равной 0,6876, так же как и величины
экспонент (3 и 5, рассмотренных в разд. 4. Такой подход весьма близок к
другим методам группы перенормировки, применяемым к полимерам (как,
например, в работах [17, 36, 51-54]).
Можно предположить, что описанный здесь тип подкласса самоподобных
блужданий имеет большие средние размеры, чем тип
Графы, модели полймеров, исключенный объем
495
полного класса блужданий без самопересечений. Это обусловлено тем, что
взаимопроникновение блобов при каждом данном масштабе в этих подклассах
запрещено. Предположение о существовании границ подтверждается при
сравнении с цитированными ранее наилучшими оценками для и. Кроме того,
предполагается, что по мере увеличения размера начальных блобов
результаты, полученные для этих подклассов, будут приближаться к
результатам для полного класса.
8. ОБСУЖДЕНИЕ
Имеются данные о некоторых качественных проявлениях исключения объема,
суммированные в табл. 1. К тому же известны дополнительные проявления,
обнаруживаемые при использовании модифицированных моделей, например с
несколькими (теоретико--графовыми) решетками без самопересечений, таких,
как модели для концентрированных растворов или расплавов или модели для
коагулирующих молекул с результирующими взаимодействиями, обусловленными
самопритяжением ближайших соседних молекул.
Описанные нами кратко идеи и методология для рассмотрения структур
подграфов без самопересечений дают, по-видимому, качественные оценки
свойств. Для некоторых из этих подходов, например скейлинговых идей,
будет полезно достижение "математической строгости", тогда как другие
подходы, например матрицы
ТАБЛИЦА 1. Сопоставление моделей изолированных разветвленных полимеров
Описываемое свойство Поведение без исключения Поведение с ис-
объема
ключеннем объема
Средняя пространственная протя-
женность конформаций при фик-
