Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
случае из этого следует, что если выполняется ВПК, то ? ibvb = 0 для
полной сети. Это может быть выражено как - ? i(vt = ? itvt.
по по дерезвеньям ву
Представление л-мерных химических многообразий
435
с Rkj = RJlc. Уравнения, связывающие напряжения и токи, следуют просто из
1 ЭФ
v'~2 wk <8)
и соответствующее обратное выражение для токов может быть получено
введением проводимостей (обратных величин сопротивлений) в двойственную
сеть.
Если напряжения vk и токи ik отождествляются с инкрементами dxk и dxk
соответственно, то уравнение (6) ведет к уравнению (1) при условии, что
сеть составлена из положительных сопротивлений. В таком случае сеть,
обладающая активным сопротивлением, с положительными сопротивлениями и п
независимыми звеньями гомологична л-мерному метрическому многообразию.
Может быть показано, что преобразование между ковариантными к контравари-
антными компонентами эквивалентно преобразованиям сети, осуществляемым
путем сопоставления измерений разомкнутой и короткозамкнутой цепи [11].
[В обычных терминах тензорного исчисления для метрического векторного
пространства силы представляют ковариантные векторы , тогда как токи -
контравариантные векторы ^ и их скалярное произведение соответствует
инварианту (тензору нулевого порядка)
ф = I V* = I = I V,'F <9>
где g^ и - фундаментальные ковариантные и контравариантные метрические
тензоры, подчиняющиеся условию g^gPV = <5''.] Член, находящийся в правой
части уравнения (6), получен в результате замены линейных сопротивлений
составными соотношениями для каждой ветви полученного дерева:
? v,i, = I Rti2 = I (JW'i,)2 = I a2. (10)
t t t
Исходная метрика (9), имеющая перекрестные члены Rjk, теперь
преобразована в пифагорову форму в правой части уравнения, являющейся
суммой квадратов. Если длина определена как норма вектора, то ясно, что
на многообразии (звеньях), где координаты неортогональны, в общем случае
изменение энергии в сети задается уравнением (7), тогда как сети
сопротивления определяют ортогональные направления в "пифагоровом
смысле", где изменение энергии может быть вычислено с помощью сумм
квадратов локальных величин (10). Это эквивалентно вложению л-мерного
многообразия
436
Л. Пьюзиер
в ортогональное пространство большей размерности. Поскольку минимальное
число необходимых сопротивлений равно d4IIH - п(п + + 1)/2, минимальная
размерность ортогонального пространства равна этому числу. (Конечно, на
самом деле ортогональность зависит от нашей способности сконструировать
сети с активными сопротивлениями при использовании минимального числа
сопротивлений.) Если мы отождествили каждое из направлений, определенных
с помощью сопротивлений, с ортогональной координатой, то каждое из них
выполняет роль декартовой координаты, даже если все они не являются
независимыми, поскольку связаны правилами Кирхгофа. В таком случае
окончательным результатом является геометрический объект (сеть), входы
которой представляют собой параметры п-мерного многообразия, тогда как
внутренние сопротивления определяют декартовы направления.
Отметим, что имеется иная возможная интерпретация теоремы Телегина с
помощью сопротивлений: мощность, рассеянная в сопротивлениях сети,
которая определяется суммой произведений vtit для каждого сопротивления
t, равна мощности, поставляемой источниками на всех входах.
4. ПРИМЕР ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЫ
При условии что метрика ds2 = ф, мы можем найти локальные ко-вариантные
компоненты из контравариантных (или наоборот), взяв производные
1 дф , 1 дф /11ч
х1 ~ VT-T или х = -гг- • (11)
2 ddx' 2 ddxt
Для простого случая двумерного многообразия метрикой, выраженной через
ковариантный фундаментальный тензор, является
ф = ds2 = gn(dxi)2 + 2gl2dxldx2 + g22(dx2)2 , (12)
поэтому ковариантные компоненты (напряжения) таковы:
dxi=\ =8ndxi + 8пахг (13)
dx2 = \ 0^2 = *12dX' + 822<*х2 • (14)
Простейшая связная сеть, которая может быть сконструирована для
представления этих уравнений, состоит из 2(2 + 1)/2 = 3 со-
Представление п -мерных химических многообразий
437
РИС 2. Сеть с тремя сопротивлениями, используемая для конструирования
метрики: ds2 = gu(dx')2 + 2gndx = dx' + gn(dx2)2.
Ковариантные смешения связаны с напряжениями, а контравариантные смешения
соответствуют токам.
Сопротивления равны: R{ = g,, - gl2, R2 = g22 - gI2 и Л3=="12= ^21 *
противЛений и является "Т"-сетью, показанной на рис. 2. В ней имеются
сопротивления R, = (gn - g12), R2 = (g22 - g12) и R3 = = g12 с
соответствующими "токами": /, = dxl, i2 = dx2 и /3 = = (dx' + dx1-).
На многообразии вектор пути ds определяется выражением
ds = f{{g^dxl + r^fg^dx2, (15)
в котором г, и г2 - единичные векторы в направлении векторов,
тангенциальных к координатам многообразия. Если каждое сопротивление R, в
Т-сети сопоставлено с направлением е, (соответствующим направлению
положительного движения тока), то вектор пути смещения ds будет задан в
новой (ортогональной) системе координат:
