Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
этой гиперповерхности. Отклонение величин параметров от исходной точки,
такой, как А, приводит к относительно большому изменению в компоненте
решения С,. Качественно отличный отклик наблюдается в такой точке, как В,
где градиент поверхности мал. Таким образом, градиенты компонент решения
в пространстве параметров являются мерой чувствительности решения к
возмущениям выбранных значений параметров. По существу, их можно
рассматривать и как меру структурной устойчивости модели. Как будет
показано ниже, возможно также использование анализа чувствительности для
определения того, какие изменения параметров будут вызывать структурные
неустойчивости.
2.1. СТАНДАРТНАЯ ТЕОРИЯ
Для количественного представления этих идей рассмотрим общую модель
изотермической колебательной реакции без пространственных вариаций:
= ^((^1 > ••• > Cjv> ам)> * = !>•••> N, (1)
подчиняющуюся начальным условиям
C,(t = 0) = а,, /=1 N , (2)
где С, - концентрация одного из N веществ, R, описывает кинетику
химической реакции вещества i и а - (а,, ... , aN, aN+l, ... ... , ам) -
вектор, содержащий все параметры задачи. Первые /V компонентов а являются
начальными условиями, тогда как последние (от N + 1 до М) - все те
параметры, которые появляются в явном виде в дифференциальных уравнениях,
такие, как константы скорости. Обычное компьютерное моделирование должно
осуществляться путем выбора величин для параметров а (обозначим эту
исходную точку через а) и численного решения систем уравнений (1) и (2);
в результате получают^ решение, которое мы обозначим как С = I С,(а),
С2(а), ... , С^(а)).
Более широко используемый метод анализа чувствительности связан с
разложением относительно исходной точки а в пространстве параметров;
сохранение в разложении только линейных членов приводит к
М _____
С,(О = С,(О + ^ + - - ' = 1 N- (3)
j=1 1
Использование анализа чувствительности
425
Градиенты dCl(t)/daJ определяются в исходной точке в пространстве
параметров и получаются решением линеаризованных дифференциальных
уравнений
при наложении начальных условий
(подробности см. в [9]). Таким образом, данные о чувствительности для
вариаций многих независимых параметров могут быть получены с помощью
единственного дополнительного численного расчета, а не с помощью большого
числа моделирований для каждого выбранного набора параметров.
2.2. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ
Непосредственное применение указанных выше идей к колебательным системам
приводит к численным результатам, которые очень трудно интерпретировать
физически. Проблема связана с наличием секулярных членов, всегда
появляющихся в разложениях такого типа (см. [6]). Можно показать, что
коэффициенты чувствительности, полученные с помощью описанного выше
метода, всегда имеют вид
где т - период колебания и (dCl/daJ)T - периодическая функция,
описывающая изменение С, при фиксированном т. Если период зависит от
параметра а, то второй член отличен от нуля и, как видно, неограниченно
возрастает, когда величина г становится большой; это означает, что
уравнение (3) не является равномерным разложением
Используя метод Линдстеда - Пуанкаре (см. [10]), с помощью которого, по
сути, ренормализуется временная переменная t таким образом, что она
зависит от а, можно преобразовать прямое разложение в модифицированное
разложение:
N
(6)
426
Р. Лартер
Где s - ренормализованная временная переменная и, как установлено,
коэффициенты линейного разложения в уравнении (7) идентичны с первым
членом уравнения (6) [6]. Теперь разложение (7) - строго равномерное для
всех величин времени t, и найдено, что коэффициенты разложения являются
периодическими функциями, физическая интерпретация которых не
представляет затруднений.
Коэффициенты разложения (ЭС/даД могут быть выделены из стандартных
коэффициентов чувствительности dCt/da с помощью уравнения (6), если может
быть определена величина Эт/Эау, поскольку другие величины, имеющиеся в
уравнении (6), известны. В работе [6] предложен метод, включающий
определение интегралов от стандартных коэффициентов чувствительности и
получение величины Ьт/botj с помощью уравнения
Величины времени tx и t2 выбраны таким образом, чтобы знаменатель
выражения (8) не был слишком малым, т. е. путем отбора величин и12 для
соответствия различным точкам вдоль цикла колебания. В работе [8]
обсужден сходный подход, при котором модифицированные коэффициенты
чувствительности определяются непосредственно из линеаризованного
дифференциального уравнения; преимуществом метода, приведенного здесь и в
работе [6], является получение дополнительной информации о
чувствительности периода с помощью уравнения (8).
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
Более полные результаты, относящиеся к приведенным ниже примерам, можно
найти в работах [5, 6] *. В настоящей статье приводятся некоторые
прймеры, иллюстрирующие основные аспекты описанной в предыдущем разделе
теории.
3.1. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Параметры начальных условий играют различную роль в двух общеизвестных
