Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
S, С12 С13 о4 о5
Si' СЬ' С3 - СЬ'
о;
о5'
Плоскость отражения о, меняет положение атомов хлора, оставляя три других атома на своих местах (теперь мы опускаем вспомогательную верхнюю строку и левый столбец):
1 0 0 0 0
0 0 10 0
0 10 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Наконец, плоскость а[, меняет положения атомов кислорода, оставляя на своих местах атом серы и два атома хлора.
0 1 0 0
о
о о о о 1
Поскольку каждая из этих четырех 5x5 матриц представляет собой одну из операций симметрии точечной группы С2,.. полный набор этих четырех матриц является представлением данной группы. Эти матрицы также подчиняются правилам, суммированным в таблице умножения для С2о. Как было показано на рис. 4-2,
°»' С2 = °'„
Соответствующие матричные представления имеют вид
13-1553
ІУ4
( лапа 4
0 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 1
1 1 +0 0 + 0 0 + 0 0 + 0 0 1 0 + 0 0 + 0 1 + 0 0 + 0 0
0 1 + 0 0 + 1 0 + 0 0 + 0 0 0 0 + 0 0 + 1 1 + 0 0 + 0 0
0 1 +1 0 + 0 0 + 0 0 + 0 0 0 0 + 1 0 + 0 1 + 0 0 + 0 0
0 1 + 0 0^+0 0 + 1 0 + 0 0 0 0 + 0 0 + 0 1 +1 0 + 0 0
0 1 + 0 0 + 0 0 + 0 0 + 1 0 0 0 + 0 0 + 0 1 +0 0 + 1 0
1 0 0 0 0
0 10 0 0
0 0 10 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
Умножение здесь подробно показано только для первых двух столбцов получающихся матриц. Матричные элементы произведения даются следующим выражением:
і
Чтобы получить первый член первой строки, все элементы начальной строки первой матрицы умножаются на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и затем результаты складываются. Чтобы получить второй член первой строки, все элементы начальной строки первой матрицы умножаются на соответствующие члены второго столбца второй матрицы, а результаты складываются; таким же образом эта процедура продолжается далее. Чтобы получить члены второй строки, указанные операции повторяются с элементами второй строки первой матрицы и т.д. Можно также вообразить себе вторую матрицу в виде совокупности столбцовых матриц и затем последовательно рассматривать умножение каждой из этих столбцовых матриц на первую матрицу.
По. 1СЗИЫЙ мигсмагический аппарат
4.3. Представления групп
Любой набор чисел, подчиняющихся таблице умножения группы, является представлением группы [2]. В наших примерах эти числа показывают, как определенные характеристики молекулы ведут себя при выполнении операций симметрии данной группы. Операции симметрии могут применяться к различным характеристикам или описаниям молекулы. Конкретное описание, к которому применяются операции симметрии, образует базис для представления группы. Вообще говоря, любой набор алгебраических функций или векторов может выступать в роли базиса для представления группы [1]. Наш выбор подходящего базиса целиком зависит от характера данной задачи, которую надо решить. После выбора базиса цель состоит в том, чтобы построить матрицы, которые преобразуют базис или его отдельные компоненты согласно каждой из операций симметрии. Наиболее употребляемые в химических задачах базисные наборы суммированы в разд. 4.11. Некоторые из них будут использованы в следующем обсуждении.
Постараемся построить представление точечной группы для очень простого базиса. Для этого выберем изменения (Аг; и Аг2) двух длин связей N—Н в молекуле диимида, гЧ2Н2:
Н
/
/
н
Оба вектора можно использовать при описании валентных колебаний этой молекулы, имеющей симметрию С2к. Рис. 4-7 помогает наглядно проследить, как действуют операции симметрии данной группы в выбранном базисе. В точечной группе С2И имеются четыре операции симметрии: Е, С2, / и ай. Операция Е оставляет базис неизменным, так что соответствующее матричное представление выражается единичной матрицей:
? •
Дг, 1 0 Дг,
Дг2 0 1 Дг2
Как С2, так и / заставляют Дг1 и Аг2 поменяться местами:
13'
196
Глава 4
Дг, 0 1 Дг,
Дг2 1 0 _ Д/2
Д'і 0 1 Дг,
Дг2 1 0 Д/2
Рис. 4-7.
Четыре операции симметрии точечной группы С2(|, примененные к изменениям длин двух связей N — Н молекулы НЫ1ЧН.
Наконец, операция о~и оставляет молекулу неизменной:
Д/> 1 0
_д^_ 0 1 Дг2
2-М.
До^н
Полезный математический аппарат
197
В выбранном базисе представление состоит из четырех матриц размера 2x2.
Теперь усложним базис и рассмотрим положения всех ядер в молекуле НЫЫН, как показано на рис. 4-8, а. Здесь вводятся так называемые векторы смещений, которые обсуждаются в гл. 5, посвященной колебаниям молекул. Найдем матричное представление для операции ак (см. рис. 4-8,6). Горизонтальная плоскость симметрии оставляет все координаты х и у без изменения, а у координат г меняет знак. В матричном обозначении это имеет вид
в
Рис. 4-8.
а-декартовы координаты как базис для представления; б-действие плоскости он\ в-действие оси С2.
*1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Х\
У. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 У\
21 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21
*2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 XI
Уг 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 У1
- 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 • 22
*3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 *3
Уз 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 .Уз
