Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
+ ^^-ZKsin(^)-«*ico,(if-)] (6.,6)
/1-0
Важно понимать, что эта производная не является обычным коэффициентом чувствительности, возникающим из уравнения (6.10) потому, что на цикле [для которого справедливо только выражение (6.15)] вектор начальных концентраций с° = с°(а) будет в действительности зависеть от оставшихся параметров дифференциального уравнения, которые определяют орбиту предельного цикла. После соответствующего подробного рассмотрения этого момента можно прийти к следующему выражению [936]:
/ rir \ / rir \ t (\т Ґ iir \
16.17)
(lit\ = (LiL) -LЛі(LLl)
\daj) I4 да,- Jx х да/ V dt J
где коэффициент чувствительности в левой части получается решением уравнения (6.10), а (dct/da,,-)-, — периодическая функция, соответствующая первому члену уравнения (6.16). Уравнение (6.17) показывает секулярный рост полного коэффициента чувствительности, когда период чувствителен к конкретно выбранному параметру (т. е. дт/д<х/фО). Действительно, последний член уравнения (6.17) будет неограниченно расти когда время стремится к бесконечности. Такое поведение легко понять, так как малейшее изменение периода, вызванное вариацией параметра в уравнении (6.15) приведет с течением времени к произвольно большому сдвигу фазы синусоидальных функций. Для интерпретации КМ>ФВД"снт0в чувствительности периодических систем выделение Указанного се-кулярного члена существенно. В противном W™™»™* затемнит., физически важную структурную чувствительной, (Oc1JOa1)
11,„0¦11,3VSi тот факт, что iic,/iil и черный член в правой вдетн уравнения (6.17) периодичны, приходим к следующему выражению для чувствительное п. пернота:
<>»/ да1
*Г ,>Г<(> + т)-1 *.(0) I IdC1W
+ L [^п-Щ-^JFJoT} да, Ї/ т (ЬЛЙ>
Последний член в фигурных скобках соответствует переходному процессу, который исчезает после достаточно большого промежутка "времени, оставляя разность между коэффициентами чувствительности, смещенными друг относительно друга на период, деленную на dc,/dt. Интересно отметить, что переходный процесс проявит себя, даже если начальные условия находятся на предельном цикле. Это поведение есть следствие того факта, что такие начальные условия являются функцией кинетических параметров [ср. последний член в фигурных скобках в уравнении (6.18)1, 11 можно полагать, что чувствительность фактически соответствует бесконечно малому смещению с равновесной орбиты. Это возмущение даст конечное время релаксации к невозмущеннон траектории.
Можно получить более общее выражение, аналогичное уравнению (6.17) [562]:
/ де. \ / де, \ ґ dt \ dc.
Ц)<-щ\'ЫХ^ (6Л9)
где индекс if используется для обозначения постоянной фазы цикла. Можно считать, что градиенты (oY,/d<x,)4 являются структурными коэффициентами чувствительности, и они — периодические функции. В то же время член (dt/da,) Ф можно рассматривать как опережение или задержка фазы, индуцируемая вариацией /-го параметра. Последняя величина зависит от времени и обычно возрастает от периода к периоду для параметров, не являющихся начальными условиями, что соответствует бесконечному росту опережения или задержки фазы. Имея это в виду, действительную чувствительность периода можно определить просто как приращение опережения пли задержки фазы через полный период: (дт/да/) = [dt(I + т)/да,\ч ~ 1"'(')/<5а'1ч- Кое-что из сказанного иллюстрируется рис. 6.6— 6.8. На рнс. 6.6 показаны полные коэффициенты чувствительности для двухкомпонентиого осциллятора, где одна из зависимых переменных-концентрация химического соединения, а другая —температура. Из рисунка ясно виден секу.тярнып рост. Напротив, рис. 6.7 демонстрирует периодическое'изменение структурного коэффициента чувствительности после того,
етоды моделирования и анализ
Рис. 6.6. Чувствительность концентрации с и температуры T по отношению к безразмерному параметру переноса энергии ц в модели неадиабатнческо-го реактора непрерывного перемешивания и одной химической реакции. Коэффициенты чувствительности ясно демонстрируют секулярный рост, который следует из выражения (0.17).
Рис. 6.7. Структурный чувствительности, соо:
коэффициенты.
в соответствии с VP^™" ?^',/ люченне семляг-нош
ьак он выделен о ^ии.ич..-------- -
полезно при таком анализе пекли видно нз рис. 6.8. Результат, представленні-
------- нового фазового
параметра. Этот Р-^-нтельносіН
сказывает возникновение
«он величине возмущения парамеч'"- ¦ -
с использованием (а) «сырого» коэффициента у
Рис. 6.8. Результат конечного возмущения (Др. = 0,05) модели, описанной в подписи к рис. 6.6.
Штриховая линии изображает возмущенную орбиту, получаемую из вычислений с явно введенным изменением коэффициента переноса энергии; сплошная линия-результат использования коэффициентов чувствительности в разложении но возмущению до членов первого порядка; а — использование „сырых" коэффициентов чувствительности, показанных на рнс. 6.6; б — использование коэффициентов чувствительности с отделенным секулярный членом из рис. 6.7. Видно, что отделение секулярности качественно улучшает описание возмущённого цикла.
