Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
10.5.2. Фронты перехода вблизи бифуркаций множественных стационарных состояний
Анализ распространения фронта перехода между множественными стационарными состояниями с большой общностью аналогичен исследованию критической точки жидкость — газ. Рассмотрим зависимость некоторой характеристической величины (концентрации) от двух параметров, таких, как скорость подачи н температура проточного реактора с перемешиванием. Тогда аналог критической точки имеет топологию сборки, показанной на рнс. 10.6. Здесь мы с большой общностью исследуем распространение фронтов, соединяющих состояния на различных ветвях квазнстащюнарной поверхности в области множественности состояний. Мы найдем линию сосуществования, где скорость фронта обращается в нуль и состояния сосуществуют, разделенные зоной диффузионного перехода. Единственность фронта перехода, соединяющего состояния, получается здесь как следствие близости параметров к точке сборки". Как мы видели в разч 10 2, может существовать множество фронтов перехода между теми же стационарными состояниями с различными профилями н направлениями распространения.
RoZ,0,',5; Л МеТ°д масштаб>а*х преобразований (скейлинг). Возьмем систему из Л' компонентов, описываемую в каждой точке г її в момент времени t вектором-столбцом С = {C1, C2, . . ., достаСтпн^ С1Г: " К0Ш1ептРа"."И- Все концентрации считаются тать постояш Г м' ЧТ° Матрицу *иффузіи D можно счи-:п"ю полагаем, что С эволюционирует согласно
ОС/а/ = DV2C + F (С) (10,82)
где F(C) — вектор-столбец скоростей реакций. Предположим далее, что система имеет однородное стационарное состояние С, и введем отклонение с, т. е. С = С + с. Кроме того, запишем
F (С + с) = Hc + N (с) (10.83)
где
ii = (dF/dC)c=? (10.84)
Уравнение (10.83) определяет нелинейный по с член N. При этом получаем систему динамических уравнений для с:
дф! = Dy2C + Qc + N (с) (10.85)
Чтобы легче обнаружить искомые неустойчивость н множественность состояний, введем новые переменные. Введем матрицу Т, преобразующую Q в диагональную матрицу Г:
T = T-1QT (10.86)
Определим также вектор-столбец новых переменных — «мод» Y:
Y=T-1C (10.87)
Умножая обе части уравнения (10.85) па T-1, получаем уравнение для мод:
dV/dt = Av-Y + TY + и (Y) (10.88)
где
A = T-1DT1 H = T-1N(TY) (10.89)
Предположим, что неустойчивой становится только одна мода, обозначаемая как мода 1, и что соответствующее ей собственное значение у і действительно. Считается, что при уі->-0 (потеря устойчивости) все остальные элементы диагональной матрицы Г (т. е. у2, .. ., Ys) остаются отрицательными. Мы покажем, что скейлинг дает замкнутое уравнение для амплитуды критической моды.
Для определения близости системы к точке потерн устойчивости введем параметр скей.чппга (параметр порядка) S. Будем считать, что
Yi = S-V Y« = Ya, а (Ю-901
где критический индекс q подлежит определению. Введем нормированное время I = S?, что отражает наше предположение о медленности эволюции критической моды. Наряду с этны введем
394________--- '
,u№ ряд критических ,шдексон и преобразований:
I = St
r = S'r
?B = S-"4>„(?,ft. (1°-91)
BJiTV = BeV' (хотя бы одни из р\ P', Р" 1) где віт - коэффициенты билинейной формы, определяемые как
Критические индексы q, х, m и т. д. определяются с помощью подстановки формул (10.91) в уравнение для мод (10.88). Нетривиальное решение для медленной моды Y1 существует только при следующих соотношениях между индексами:
2.v = </ = tt. = 2m = 2i= 1 (10.93)
Уравнение для критической моды и уравнение адиабатического изменения амплитуды некритических мод Yb^1 имеют вид
dVJdt = A11V2Y1 + y,Y, + BnYT + ЛY;1, (10.94)
O = YpYp + Bi, Y?, P^l111 (10.95)
A = ~ t {Bit +BIi)BhIw+ Т\„ (10-96)
P-2
где Т-коэффициснты — это аналоги коэффициентов В в (10.92) для кубических членов. Отсюда видно, что в критической области все системы, удовлетворяющие достаточно разумным условиям, подчиняются универсальному кубическому реакционно-транспортному уравнению, описывающему изменение амплитуды критической моды. Наконец, квадратичный член ВІї должен быть мал вблизи критической точки, и для сохранения баланса при S->-oo он нормируется на S''-. Малость В|, является вторым условием нахождения в критической области. Оно требуется в дополнение к условию малости у,. Аналогичным образом и ферромагнетике также необходимо выполнение двух условий для достижения критической точки: малость приложенного магннт-"ого " г>л|130сть температуры к температуре Кюри.
W.UJJ. Фр0Н1ы и сосуществование. Рассмотрим теперь волны н сосуществование в системах, близких к критической точке.
Для упрощения обозначений будем считать, что Ч/ = <j>, и orlv стнм «~» и уравнении (10.94). Уравнение для критической мо ды приобретает вид
дЧ'/д( = A11V21J' + у,Чг + ВЧ'2 + 41f3 (10.97)
где B = Ви. Однородные стационарные решения (10.97) даются выражениями
W = 0, Ч'-± = - В ± VB2 - 4Ay1 /2А (10.98)
Предположим, что А < 0 (это соответствует глобальной устойчивости). Когда В обращается в нуль, имеется пара равных но величине, но противоположных по знаку решений. Как и ожидалось, это является условием сосуществования.
