Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Глава Ю, Tl. Ортолева, С. Шмидт
ОРис. 10.12. Деформация тороидального аттрактора в двухслойную сферу с удаленными полюсами. Это объясняет тороидальную структуру модели, в которой имеется аналитическое решение, воспроизводяїдее апериодическое пространственно-временное поведение.
Если затем мы введем декартовы переменные X1 = = R sin в cos Ф, У = Я sin в sin ф и Z = i? cos в п добавим диффузию, то получим
дХ/ді = DxV-X + BX+ XZ (X2 + К2)""' T-PY
ЗУ/dl = DyV2Y + BY+ YZ (X2 + У2)-1" T + PX (10.53)
dZ/dt = D2V2Z + BZ - (X2 + Y2)"2 T
где В, P п T зависят от R2 = X2 + У2 + Z2.
Было найдено, что поляратор с диффузией дает большое число сложных и интересных решений. Например, в случае D1 = D, I = X1 У, Z для движения вдоль направления г и для волнового вектора ft имеется решение
X (г, <) = (1/2) Rk {sin [Y+ + (D+ (ft) 1 + ftr] +
+ sln[y_ + (a_(k)t + kr]} (10.54)
где •y» — произвольные константы и
B(Rj)-ft2D = 0, w±(A) = Г (Rt) ± P (/(/,) (10.55)
Поскольку отношение частот ш+ не обязательно рационально, это решение соответствует совместному распространению двух воли с одинаковой длиной. Однако в каждой точке простран-
ства поведение во времени апериоднчио — оно никогда не повторяется. Отметим, что это соответствует двухпараметриче-скому семейству \k и смещению А-1 (у+ — V-) двух волн], тогда как предельный цикл отвечает однопараметрическому семейству. Рассмотрение различных случаев функции В показывает, что возможны как прямые бифуркации к апериодическим движениям, так и переходы к этим движениям в результате возмущений конечной амплитуды.
Случай, когда PaT не зависят от R(Dx = D11 Ф D2), дает решения, соответствующие совместно распространяющимся волнам различной длины, несоизмеримых периодов и движущимся перпендикулярно одна другой. Подробные сведения об этих и других явлениях приведены в работе [222]. Исследование поля-ратора показывает, что, когда динамические аттракторы в сетях гомогенных реакций связаны е диффузией, диапазон возможностей очень широк. Очевидно, что требуется дальнейшая работа в этой области.
10.3.5. Пространственное продолжение динамических аттракторов дает истинные волны
Во всех примерах этого раздела мы обнаружили сильное взаимодействие между динамическим аттрактором и диффузией. Например, в теории возмущений предельного цикла распределение фазы в пространстве пе произвольно, а подчиняется уравнению диффузии фазы. Важное следствие из сказанного состоит в том, что из-за диффузии гетерогенности становятся источниками информации, так же как и стенки. (См. примеры в работах [172, 742, 744]). Таким образом, волновые явления, связанные с пространственно-временным продолжением предельного цикла (и других динамических аттракторов), являются истинными реакционно-диффузионными .химическими волнами. В разд. 10.6 рассматриваются примеры взаимодействия этих ноли с электрическими полями.
10.4. Химические волны как задача Стефана
10.4.1. Быстрые реакции между реагентами переходной зоны
Химический процесс происходит на границе раздела, когда пространственно разделенные реагенты приходят в контакт. Такая зона реакции будет узкой, если скорости реакций очень велики. Поверхности, на которых располагаются эти зоны активности, могут двигаться по системе, как волны. Такая задача с движущейся границей формулируется как задача Стефана со свободной границей. Подобные задачи весьма интересны, так как они представляют собой реакционно-транспортные задачи в
Глава 10. П. Ортолсво, С. Шмидт 386______-----¦
„„,<,0m,.v танинами, которые сами должны быть областях, определяемых ірлшцчм". , .мПлрны самосогласованным образом [330J.
Донот п«.ьное уравнение, необходимое для определения «атмоіожеТіня границы раздела, сильно зависит от деталей поста овкн задач. . В этом разделе мы рассмотрим несколько „„нмеров п обсудим результаты анализа присоеди-неипоц задач., с движущейся границей. Более полный обзор см. в работе [159].
10.4.2. Задача Стефана в среде Белоусова — Жаботинского
10 4 2.1. Модель Марри как задача Стефана. Среда Белоусова'—Жаботинского (она обсуждается шоке в этой главе и в гл. 2—4 п 12) моделировалась Марри [674] редуцированной двухкомпопентной системой, которую мы запишем в нормализованном виде:
dujdt = V2u-f Ii(I — н) —іш/в (10.56)
dvjdl = DV2V - auv/г (10.57)
где а — константа, D — отношение коэффициентов диффузии, а е — малый параметр. Мы рассматриваем модель Марри [уравнения (10.56) н (10.57)] в пределе е-»-0. В отсутствие соединения V (т. е. V = 0) для соединения и имеется монотонный переход между Он I, распространяющийся в область и = 0 как плоский фронт с устойчивой скоростью, равной 2. (На самом деле имеется непрерывное одноиараметрическос семейство таких волн; при этом, как мы увидим, только волна со скоростью, равной 2, сохраняется при малых изменениях модели.)
Когда и находится в контакте с зоной ненулевого и (и ч = 0), образуется переходная зона, где и и и реагируют, уничтожая друг друга. Если в <S 1, то переходная зона очень узка, а это является условием, при выполнении которого реакциошю-днффузнонную задачу можно преобразовать в задачу Стефана с движущейся границей [159, 800]. Действительно, в этом случае мы внднм, что медленное поведение системы при в-<-0 таково, что пространство оказывается разделенным на области, где либо и, либо и исчезает, причем эти области разделяются поверхностью, на которой и = и = 0.
