ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
PW = SP* k*W><V*(0l» (2.1.5)
к 2.1. Уравнение движения
31
e(0 = 2 2 cf(t)cf*(t)\i)(j\ = 22 CiOKM 1001, (2.1.6) к і j ij
где Pk = 1> а черта сверху означает усреднение по ансамблю.
Физический смысл оператора плотности становится ясным, если рассмотреть его матричные элементы в ортонормированном базисе { I У>). Для чистого состояния получаем
OIpO) k) = 2 Sc1OKW(HOOb) =
г S
= сг0К0). (2.1.7)
тогда как для смешанных состояний находим
Ol PCO I* > = 2 pkck{l)ck*{t) =^OKCO- (2.1.8)
к
Таким образом, матричные элементы являются просто произведениями коэффициентов разложения функции состояния y{/(t). Очевидно, что оператор e(t) эрмитов:
Ol Р(0 И = Ol Р0) Ir)*- (2.1.9)
Особенно простую интерпретацию элементам матрицы плотности можно дать в базисе собственных функций гамильтониана Ж В этом случае диагональный элемент
Prr = (г|р0) |r) = I^oF2 = Pr (2.1.10)
равен вероятности того, что спиновая система находится в собственном состоянии I г). Иными словами, Pr представляет собой населенность состояния I г>.
Недиагональный же элемент матрицы плотности
р„ = <r|p(0 |s)=c,0K0), (2. І. І І)
представляет собой «когерентную суперпозицию» собственных состояний Cr(t) I г) + Cs(t) I s) в \p(t), определяемой выражением (2.1.2), в том смысле, что зависимость от времени и фаза различных членов ансамбля коррелированы по отношению к ' г) и | s>. Такая когерентная суперпозиция состояний называется просто «когерентностью». Матричный элемент е™0) является комплексной амплитудой когерентности, которая выражается оператором |r><s|. Когерентность может быть связана с переходом между Двумя собственными состояниями I Г) и I 5>. Если эти два состояния соответствуют разрешенному переходу с разницей магнитных квантовых чисел AMrs = Mr - Ms = ±1, то когерентность Qrs-связана с компонентами поперечной намагниченности M±(rs) = = M(xrs) ± \M^rsK В общем случае матричный элемент Qrs представ- 32
Гл. 2. Динамика ядерных спиновых систем
ляет ^-квантовую когерентность (р = Mr - Ms), которая для р ^ ± 1 не приводит к появлению наблюдаемой намагниченности и может быть обнаружена лишь косвенно.
Так как по предположению функция состояния должна быть нормирована:
(VlV) = S MOI2 = I, (2.1.12)
г=\
след оператора плотности равен единице:
Tr{p} = S Prr = І Pr = I- (2.1.13)
г= 1 r=t
Чистые состояния называют иногда «состояниями с максимальной информацией». Поскольку все подсистемы ведут себя одинаковым образом, мы имеем полное представление о всех составляющих частях системы. Отличительным свойством чистых состояний является то, что для них ? является идемпотентом:
P2=IvKvI VXVMVXV| = P (2.1.14)
и что
Tre2 = Tre = L (2.1.15)
Следует заметить, что оператор плотности g чистого состояния является проекционным оператором [ср. выражения (2.1.4) и (2.1.69)].
Смешанные состояния иногда называют «состояниями с неполной информацией». Можно показать, что для смешанных состояний
Tre2 <1. (2.1.16)
Информация об индивидуальной системе, находящейся в смешанном состоянии, является менее полной, и Tr [ Q2) можно рассматривать как меру информации. Оператор плотности для смешанного состояния не является проекционным оператором.
2.1.1.1. Уравнение для оператора плотности
Из нестационарного уравнения Шрёдингера (2.1.1) нетрудно вывести уравнение движения оператора плотности, а именно
|р(0 = -І№Р(0]. (2.1.17)
Это дифференциальное уравнение, называемое уравнением Лиувил-ля — фон Неймана или просто уравнением движения оператора плотности, играет наиважнейшую роль при вычислении динамиче- 2.1. Уравнение движения
33
ских характеристик квантовомеханических систем. Его формальное решение может быть записано в виде
p(t)=U(t)p(0)U(tyl-, U(t) = T expj —і jV(r')dr'}, (2.І.18)
где упорядочивающий во времени оператор Дайсона T [2.6] определяет порядок вычисления экспоненциальных функций в случаях, когда гамильтониан в различные моменты времени не коммутирует: [J?%t') , Jf(t")] ^ 0 [см. выражение (3.2.12)]. Применение уравнения (2.1.17) мы проиллюстрируем многочисленными примерами на всем протяжении этой книги. Выбирая соответствующую вращающуюся систему координат, во многих случаях гамильтониан можно сделать не зависящим от времени на отдельных конечных интервалах времени, и эволюция системы может быть выражена последовательностью унитарных преобразований типа
p(t + г, + r2) = ехр{-і^2г2}ехр{-і^]г]}р(г)ехр{ + і^1г]}ехр{ + і^2т2}
(2.1.19)
с пропагаторами ехр( JtjcTk). Это уравнение применимо к любой последовательности интервалов Tk, в которой могут быть_опреде-лены не зависящие от времени средние гамильтонианы Ж.
2.1.1.2. Средние значения
Для нормированных функций состояния среднее значение <А > произвольного оператора наблюдаемой А, а именно
(A) = 2pk(t)(il>k(t)\A\xi>k(t)), (2.1.20)
к
можно записать через g(t) следующим образом:
М> = IpkCO 11 ck*(t)ck(t)(r\A\s) =
к г S
= Hpsr(I)Arst (2.1.21)
Г S
что эквивалентно
(А)=Тт{Ар(1)}. (2.1.22)
