ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
(A\B) = I AiklBlk = 2 AfkBlk. (2.1.47)
kl kl
Если вернуться к уравнению (2.1.22), то можно заметить, что существует определенное соотношение между средним значением оператора А и скалярным произведением (А \ а). Однако следует заметить, что скалярное произведение включает в себя сопряженный оператор <Л> = Тг{ Л а(г)}, (2.1.48)
(A I o(t)) =Тг{Лта(г)}. (2.1.49)
Но поскольку для эрмитова оператора А = А\ очевидно, что это различие несущественно.
Между гильбертовым пространством J^ натянутым функциями состояния, и пространством Лиувилля ^f которое натягивается соответствующими линейными операторами, существует близкая аналогия. Однако, помимо того что ^имеет свойства унитарного векторного пространства, оно еще образует операторную алгебру, в которой определено произведение двух операторов. Например, Для однопереходных операторов сдвига (см. разд. 2.1.9) имеем еле- 40_ Гл. 2. Динамика ядерных спиновых систем
дующее соотношение:
7+<">7+('"> = /+<«> Ssr (2.1.50)
Подобных соотношений не существует для функций СОСТОЯНИЙ I /•>.
Коэффициенты as в разложении произвольного оператора А по набору ортогональных базисных операторов [Sj), определяемого выражением
A = IasBs, (2.1.51)
j=i
где <Ss I S(> = Ti-[SjS() = 0, можно вычислить ДЛЯ S^t с помощью скалярного произведения:
_ (В,\А) _ 1B-(BM)
(ДІїьГВДЧ}- (2Л'52)
Для нормированных базисных операторов знаменатель здесь равен единице.
2.1.4. Супероператоры
Аналогия между пространствами Гильберта и Лиувилля позволяет ввести супероператоры, которые определяли бы операторные соотношения в пространстве Лиувилля ^f [2Л—2.9]. Примером такого операторного соотношения может служить коммутатор в уравнении (2.1.17):
[Ж, о] = Жа - аЖ. (2.1.53)
Это соотношение можно записать в сокращенной супероператор-
ной форме *<,.[*,*]. (2.1.54)
*
Оператор S, действующий на операторы, называется линейным супероператором, если *
1 • 5Л €Sопределено для всех операторов А 6 2. S(аА + ЬВ) = aSA + bSB. (2.1.55)
Мы обозначаем супероператоры прописными буквами с двойной «шляпкой» по аналогии с обозначением с одной шляпкой, которое используется во многих руководствах по квантовой механике для операторов А, действующих на функцию состояния | ф). Однако мы опускаем шляпки на операторах и используем одинаковые прописные буквы как для обозначения операторов, так и для их матричных представлений.
В полной аналогии с операторами супероператоры S могут быть представлены (супер)матрицами в любом подходящем орто- 2.1. Уравнение движения
41
нормированном операторном базисе (Bj) . Матричное представление супероператора S имеет размерность п2 х п2 и состоит из матричных элементов
Sra = (Br I SBs) =Tr[BlSBs). (2.1.56)
Супероператоры можно классифицировать в соответствии с теми же критериями, что и операторы. Сопряженный супероператор *
St дается выражением
(A j SB) = (SiA I В). (2.1.57)
¦ *
Для эрмитова супероператора имеем St = S. Унитарный супероператор определяется соотношением S-1 = St. Рассмотрим теперь кратко несколько особенно важных классов супероператоров.
2.1.4.1. Коммутаторные супероператоры
Для каждого оператора С может быть определен коммутаторный супероператор С:
CA = CA-AC = [С, А]. (2.1.58)
Коммутаторные супероператоры называются также производными супероператорами и могут быть представлены в виде следующей
разности: * ,
C = C1-Cr, (2.1.59)
где левые и правые перестановочные супероператоры Cl и определяются соответственно соотношениями
CLA = CA, (2.1.60)
CRA=AC. (2.1.61)
Если С — эрмитов оператор, то коммутаторный супероператор С также эрмитов.
А Л Л Л
Мы условимся, что Ж ha, Ska и Fa, относящиеся соответственно к гамильтониану Жъ. спиновым операторам ha, Ska и Fa, обозначают коммутаторные супероператоры. Супероператор Ж, который играет главную роль в уравнении для оператора плотности (2.1.17), называется супероператором Лиувилля. Супероперато-РЬі, обозначаемые другими символами, мы будем определять по мере их использования. 42
Гл. 2. Динамика ядерных спиновых систем
2.1.4.2. Супероператоры унитарного преобразования
Унитарное преобразованиее RAR'1, где R = ехр{ —iG), можно записать с помощью унитарного супероператора R следующим образом:
RA = exp{-iG}A = exp{-iG}A exp{iG}, (2.1.62)
где R~1 = Rt, a G — коммутаторный супероператор, соответствующий эрмитову оператору G. Это тождество нетрудно доказать, заметив, что соответствующие перестановочные супероператоры Gl и Gr коммутируют [2.8]. Для G = Жт, где гамильтониан по предположению не зависит от времени в интервале т, R является супероператором временнбй эволюции:
/?(т) = ехр{-і^т}. (2.1.63)
Следовательно
/?(т)ст(/) = ехр{-і$г}а(г) =
= ехр{-і^г}ст(/)ехр{іЖг} =
= о(і+т). (2.1.64)
С целью сокращения обозначений унитарное преобразование иногда будем схематически обозначать в виде
O(I)A o(t + T). (2.1.65)
Используемое здесь изображение с помощью стрелки эквивалентно уравнению (2.1.64).
