Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
95
ционально 5v с положительным коэффициентом пропорциональности, т.е. 5хк+1 = а 5v, где а>0. Подставляя найденные значения приращений в уравнение для i = к (с учетом 5х1 = 0, поскольку значение х1 фиксировано) получим 5v = f Sv^ -а 5v, т.е. dv/dv^ = f/(1 + а) = const > 0. Знак второй производной ^v/dv^2 может быть только отрицательным в силу положительности первой производной и того обстоятельства, что значение скорости ограничено минимальным из значений максимальных скоростей на отдельных этапах, т.е. v < min{vmi}. Из того, что изменение v конечно, следует что производная dv/dvmi обращается при больших vmi (формально на бесконечности) в нуль, т. е. v выходит при больших vmi на насыщение. Из-за конечности изменения первой производной (от конечного начального значения до нуля) следует, что и вторая производная обращается в нуль на бесконечности. Заметим, что в силу монотонности производных значение самой скорости на бесконечности выходит на насыщение.
Таким образом, скорость v является монотонно возрастающей и выпуклой (если есть хоть один этап, для которого вторые производные не равны нулю) функцией любой из максимальных скоростей vmk, пропорциональна vmk при малом значении последней и выходит на насыщение при ее достаточно больших значениях.
Аналогично доказывается выполнение того же набора свойств для стационарной скорости в зависимости от х1.
1.4. Расширение круга процессов с теми же типовыми свойствами
Круг рассматриваемых процессов, для которых выполнены установленные свойства, можно расширить за счет включения в последовательность этапов ферментативных превращений с более, чем одним субстратом или продуктом и аналогичных им этапов переноса, при условии, что концентрации дополнительных участников (субстратов, продуктов или переносимых веществ) определены независимо. Это эквивалентно изменению (уменьшению) максимальной скорости на соответствующем этапе точно так же, как заданное значение х1 изменяет (уменьшает) максимальную скорость на пером этапе. Подобная замена полностью соответствует обычной практике внесения фиксированных концентраций в выражения для кинетических констант или выражения для констант равновесия (см. далее п.3). Свойства максимальной скорости на соответствующем этапе по отношению к дополнительным субстратам или аналогичным переменным типовые, поэтому и стационарная скорость по отношению к ним будет иметь те же свойства, что и по отношению к х1. Пример такой независимо заданной концентрации субстрата — внешняя <атмосферная> концентрация СО2, если рассматривать превращение световой энергии при фотосинтезе.
Включение таких этапов типа дополнительных входов позволяет рассматривать циклические процессы как процессы, в которых на одном (или нескольких) из этапов вторым дополнительным субстратом является то, что можно назвать субстратом (или субстратами) циклического процесса, а на другом (или других) образуются дополнительные, т. е. более одного, продукта. Легко проверить, что установленные свойства не изменяются при такой замене, если считать, что xN+1 совпадает с х1. Заметим, что для циклического процесса все указанные свойства выполнены, если в нем есть хотя бы один необратимый этап. Этому этапу всегда можно присвоить номер N, а место присоединения дополнительных субстратов и выхода дополнительных продуктов для доказательства этих свойств значения не имеет. Условие необратимости хотя бы одного этапа практически не накладывает ограничений при рассмотрении процессов метаболизма, поскольку известно, что необратимые этапы можно выделить в любом сложном превращении (экономическое обоснование этого станет ясно далее в п.4).
Таким образом, перечисленный типовой набор свойств стационарной скорости будет выполнен для весьма широкого класса линейных и циклических процессов с участием этапов превращений и перемещений разного рода (не только ферментативных, но также фото-, электрохимических превращений, пассивного и активного переноса), в том числе, дальнего транспорта. В качестве переменных х2,..., xN для этапов превращения выступают концентрации различных веществ, а для перемещений -- концентрации одного и того же вещества (давления) в различных точках пространства.
96
К тому же отметим, что использованное условие стационарности |vi - vi+1| = 0 не отличается с т.зр. получаемых выводов от условия квазистационарности vi, vi+1 >> |vi - vi+1| имеющего, как известно из физической химии, широкую применимость (см. ниже в п.2* обсуждение достаточного условия применимости предположения о квазистационарности). А поэтому полученные типовые свойства будут выполнены также для многих процессов, не являющихся стационарными в точном смысле.
2. Типовые свойства кинетики последовательности биохимических превращений
Аналогично п.1.3 (от противного) для последовательности обратимых или необратимых этапов со свойствами элементарных превращений или превращений с типовыми свойствами ферментативной реакции, оканчивающихся необратимым этапом <т. е. аналогичной 1.5 последовательности превращений без обратных связей>, доказываются типовые свойства кинетики. Если начальные значения переменных x2,..., xN, xN+1 равны нулю, то в дальнейшем концентрация x1 будет монотонно уменьшаться, xN+1 монотонно возрастать, а значения промежуточных переменных x2,..., xN сначала будут увеличиваться, а затем уменьшаться (кинетика с одним максимумом). Причем максимум для предшествующей промежуточной переменной <с меньшим значением индекса> будет наблюдаться раньше, чем максимум последующей <с б0льшим значением индекса>.
