Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
99
способ уменьшения имеющихся возможностей в тех случаях, когда получение максимального результата по каким-либо причинам нежелательно /не требуется. Поэтому F = F(x;) обычно с простейшим набором типовых свойств по отношению к любой из переменных х; <в частности, свойством произведения по отношению к наличию всех необходимых составляющих>. Используемые выражения для F — модельные или реальные для некоторого конкретного процесса.
Максимальные возможности выражает достижение максимума отношения F/Q, где функция Q <функция затрат> описывает сопровождающие интеграцию затраты. Функцию затрат Q по отношению к переменным X; обычно можно считать линейной
Q = t а,х,- (31)
i=1
Общее обоснование линейности затрат при экономическом анализе поведения живой системы дано в гл.2.п.2. Кроме того, к линейному виду затрат приводит множество непосредственных интерпретаций происходящих в живой системе процессов: утрата составляющих в результате спонтанного деструктивного процесса, имеющего смысл мономолекулярной реакции распада <включая бимолекулярный распад при действии постоянного стресс-фактора, который в этом случае можно внести в константу скорости и представить бимолекулярную реакцию формально как мономолекулярную по переменной xi>; механическое вытеснение одними составляющими других при заданном объеме <т.е. несжимаемость веществ при давлении порядка атмосферного>; затраты на первичный синтез составляющих <в силу линейности результирующих стехиометрических уравнений синтеза>; затраты на вынос из системы продуктов деградации составляющих; затраты на механическую прочность за счет вклада химических соединений в общее осмотическое давление и т. д.
3.1. Решение оптимизационной задачи F/Q = max для
F=П----------^;Q= t Xi. (3.2)
i=1 xi + ki i=1
(вид затрат не отличается от (1) с точностью до линейной замены переменных).
Анализ модели (2) в общем виде затрудняет ее асимметрия по различным переменным x;, выражаемая различием соответствующих им постоянных к;, поэтому в общем в виде задача интеграции, т. е. задача определения значения переменных, функции интеграции и затрат в режиме оптимизации F/Q = max, не имеет точного решения. Точно в общем виде из условия оптимизации по каждой из переменных удается получить выражение для переменных через значение затрат в режиме оптимизации
x к <]Нк°_ 1)1 (33)
получить выражение в неявном виде для этих затрат
и выразить через них значение функции интеграции в режиме оптимизации
к
т - *>
' -=П
4Q 4Q
2 + --- + 1 + ---
к i
4Q
к,
-f. +4Q+,, «
П X
=П (1 - Q) (3.5)
i=1 Q
Дальнейший анализ позволяет выполнить процедура симметризации. Максимально симметричный случай для этой задачи реализуется при равенстве между собой параметров кь т.е. при к = к для всех i. В этом случае для режима оптимизации затраты
100
Q = n(n - 1)k,
(3.6)
а значение функции интеграции
F = (1 - x/Q)n = (1 - 1/n) - 1/e.
(3.7)
Зная точное выражение для затрат в режиме оптимизации (4), а также значения переменных и затрат в абсолютно симметричном случае (6), можно предложить приближенное выражение для затрат в режиме оптимизации при малых отклонениях параметров от абсолютной симметрии k = k, т.е. малых отклонениях ki от k. Такое выражение имеет вид
Значение затрат (8) совпадает с (6) при равенстве всех параметров k и восприимчивость
(8) к малому изменению параметров по сравнению с максимально симметричным случаем такая же, как для точного выражения (4): dQ/dkj = n - 1. Данные таблицы 1 показывают на примерах с n = 4 и n = 8, что приближенное выражение для затрат (8) выполнено с хорошей точностью не только в окрестности абсолютно симметричного случая, но и в гораздо более широкой области изменения параметров ki, измеряемой несколькими порядками по сравнению с максимально симметричным случаем.
Отметим, что совпадение восприимчивости приближенного выражения с точным является существенным, как показывает сравнение в таблице 1 качества выполнения (8) с другими приближенными зависимостями
Зависимости (8') и (8'') получены путем обычного разложения функции затрат Q в ряд Тейлора по степеням малых параметров ki/4Q с сохранением соответственно первого и первых двух неисчезающих слагаемых. Естественно, что при сохранении любого заданного числа слагаемых в таком разложении получаемое приближенное значение и его восприимчивость в общем случае отличается от таковых в абсолютно симметричном случае.
