Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Приближенное выражение для значений переменных можно получить подстановкой приближенного значения Q (8) в (3).
Приближенное выражение для функции интеграции также можно было бы получить подстановкой приближенного выражения для Q в (5). Однако такое выражение громоздко и удобнее иметь более простое выражение. Кроме того, недостаток этого громоздкого выражения в том, что приближенное значение Q в нем используется многократно, что может являться источником значительно большей ошибки, чем ошибка расчета Q по формуле (8). Так же, как и в случае с выражением (8), желательно, чтобы приближенное выражение для функции интеграции в режиме максимальной эффективности совпадало с (7) в абсолютно симметричном случае и имело ту же восприимчивость к малым изменениям параметров, что и точное выражение (5). Можно показать, что восприимчивость точного выражения (5) к малому изменению параметров по сравнению с абсолютно симметричным случаем равна нулю (общее выражение для восприимчивости приведено в работе [Васильев, 1992]).
Таким образом, приближенное выражение для функции интеграции в режиме оптимизации совпадает с (7) при малом отклонении параметров от абсолютно симметричного случая.
Метод симметризации можно также использовать для выяснения вопроса о том, как изменится это выражение при различии значений параметров k , которое не является малым. Для этого сначала можно рассмотреть промежуточный симметричный случай -- случай, в котором значения параметров разбиваются на две группы, в каждой из которых значения параметров равны между собой, т. е.
Оказывается [Васильев, 1992], что и в этом случае значение функции интеграции не изменяется по сравнению с абсолютно симметричным случаем, т.е. совпадает с (7). Полученные
и
4Q- (Iki +д/dVk“)2 - 2Тki )/2 (3.8'')
ki = ki, i = 1,...j ; ki = kn, i = j + 1,. ..n.
101
результаты дают основания для предположения о том, что выражение (7) приближенно описывает значение функции затрат в режиме максимальной эффективности при изменении параметров k по сравнению с абсолютно симметричным случаем в весьма широком диапазоне. Данные таблицы 1 подтверждают это предположение, демонстрируя применимость полученных приближенных соотношений в широком диапазоне изменения параметров.
Таблица 1.
Значения функции затрат Q в сравнении с приближенным расчетом по формулам (8), (8') и (8'')
, 2,...n).
описании отклонений от
F = min {х;} (3.9)
в неявной зависимости функции интеграции от переменных (гл.1, п.5.2)
k = П (1 _ F / x,) (3.10)
i=1
При стремлении параметра k к нулю получим, что F линейно зависит от каждого аргументов при малом значении последнего и приближается к насыщающему значению, которое равно минимальному из значений xi.
и значение функции интеграции F в зависимости от (i =
Набор ki n Q F
точ (8) (8') (8'')
но
100, 100, 100, 4 1200 1200 1600 1165 0.316
100
100, 80, 60, 40 4 810 810 1090 785 0.315
100, 50, 25, 12.5 4 470 468 656 448 0.308
100, 20, 4, 0.8 4 181 177 301 151 0.280
100, 10, 1, 0.1 4 104 99 209 52 0.251
100, 1, 0.01, 4 29 22 123 31 0.154
0.0001
100, 10, 10, 10 4 11 7 106 27 0.084
100, 100, 100, 8 5600 5600 6400 5571 0.344
100, 100, 100,
100, 100
100, 100, 100, 8 2334 2331 2771 2310 0.337
100, 10, 10, 10,
10
100, 100, 100, 8 1534 1532 1936 1504 0.326
100, 1, 1, 1, 1
100, 100, 1, 1, 8 475 470 676 446 0.306
1, 1, 1, 1
100, 1, 1, 1, 8 189 182 289 164 0.295
1, 1, 1, 1
100, 0.1, 0.1, 8 57 49 149 37 0.215
0.1, 0.1, 0.1, 0.1,
0.1
3.2. Решение оптимизационной задачи F/Q = max при предельной ломаной
102
Для зависимости (10) точно возможно выполнить следующие этапы решения задачи интеграции. Дифференцируя обе части (10) по xj и снова используя (10), получим:
dF n k k F
op = _^— (3.11)
dXj i=1 xt _ F Xj _ F Xj
