Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
/
при х*-2, х*-1, хф-
2х + 1
+ /
4х + 5 х + 2
х — 1 2х + 1
(44)
1
Решение. Пусть существует функция /, удовлетворяющая условиям
_ х — 1 7 + 1 4х + 5 3-2^ т
задачи. Пусть -----— t, отсюда х - ----- и ------=-------. Тогда уравнение
2х +1
\-2t х + 2 1 -t
(44) примет вид
/(0+/
3-2* 1 -t
= t.
(45)
Уравнение (45) совпадает с уравнением (40). Следовательно, решением уравнения (44) на основании задачи (20) является функция
ч 1 ( 3-2х х — 3 ^
f(x) = - х—---------+------ .
Iv 1-х х-2
22. Найти все непрерывные в окрестности нуля функции /(х), удовлетворяющие при всех xei?\{l} уравнению
/(*) = /
1-х
(46)
Решение. Пусть (рх(х) =---------. Вычислим следующие композиции:
1-х
Для существования этой последовательности потребуем дополнительно,
чтобы х Ф — при п = 1,2,.... Тогда п
f(x) = f((p,{x)), f(p{(x)) = /(ft-iW) = /(ftW).
Отсюда при любом neN
f(x) = f(<pn(x)) = f
V1
(47)
l-nx
Переходя в равенстве (47) к пределу при п —> +оо и учитывая, что функция / непрерывна в нуле, получим
Дх) = lim / (*)) = /
lim -------------
^«->+00 \-nXj
= / (0) = С = const.
Итак, для всех хф\/п , пе N , имеем /(х) = С.
В случае х = 1/п, учитывая непрерывность функции / в окрестности
нуля,
/ - =/ \п
1 .. л/2
— + lim----------
п к^+х к
\ ( г
= /
lim
к—>+эо
V V
1 л/2
н-----
п к
W /
= lim /
JJ
&->+эо *
1 | 4г
п к
= lim С = С,
?—>+00
1 ->/2 1 л/2 1
так как — н-------- иррациональное число, и поэтому — н---------^— при любых
п к п к т
rf1 ^
натуральных п,к,т , а согласно предыдущему /
— + -и А:
=*С.
Таким образом, f(x) = C при любом х из множества действительных чисел есть решение функционального уравнения (47).
23. Найти все функции /(х), непрерывные на R и удовлетворяющие уравнению
/
'х+И f(x) + f(y)
(48)
при всех х и у из R .
Решение. Пусть существует функция / (х), удовлетворяющая условиям задачи. В тождестве (48) переменную х заменим на x + t, а у на 0. Тогда имеем
/
(49)
Полагая в (48) у = t и приравнивая правые части тождеств (48) и (49), получим
/(х + 0 = /(х) + /(0-/(0). (50)
Уравнение (50) заменой f(x) = g(x) + f(0) легко сводится к функциональному уравнению
g(x + t) = g(x) + g(t), которое в силу результатов § 4 в классе непрерывных на R функций, определяет линейную функцию g (х) = а х, а = const. Тогда
f(x) = g(x) + f(0) = ax + b,
где а и b произвольные постоянные, является решением функционального уравнения (48).
Ответ: f(x) = ax + b, а,Ъ- произвольные постоянные.
24. Найти все непрерывно дифференцируемые на R функции, удовлетворяющие при всех xeR уравнению
/ (ах + Р)-а / (х), (51)
где а, р - заданные действительные числа, при этом а Ф 0, ±1.
Решение. Пусть существует функция /, удовлетворяющая условиям задачи. Поскольку функция / дифференцируема на R, то, продифференцировав обе части тождества (51), имеем
f'(ax + p) = f(x). (52)
По условию функция /'(0 непрерывна на R и удовлетворяет уравнению (52).
Тогда на основании задачи 12 /'(х) = const = с. Отсюда
f(x) = cx + d, (53)
где с и d - произвольные постоянные. Подставляя функцию (53) в уравнение (51) убеждаемся, что она является решением исходного уравнения только при
d = cj3/(a-1).
г о \
Ответ: f (х) = с
с - произвольная постоянная.
а-1
25. Найти все непрерывно дифференцируемые на R функции, удовлетворяющие уравнению
/(5 х + 4) = 5 / (х) , xeR. (54)
Решение. Функциональное уравнение (54) есть частный случай уравнения (51). В случае уравнения (54) а = 5 и Р = 4. Тогда в силу задачи 24 решением функционального уравнения (54) является функция /(х) = с(х + 1).
Ответ: /(х) = с(х +1), с - произвольная постоянная.
26. Найти функции /: (0, + оо) —»• R, удовлетворяющие при всех х, у>0 уравнению
f(xy) = yf(x). (55)
