Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
«->+оо. В силу непрерывности функций S (х) и С(х) в точке а имеем: lim ?(хл) = ?(а) и lim С(хл) = С(а).
л—>+« п—>+«
Эти пределы как раз и будут значениями функций S (х) и С(х) в точках х = а . В силу единственности предела эти значения определяются однозначным образом.
На основании задач 1 и 2 можно доказать следующую теорему.
Теорема. Существует единственная пара функций S(x) и С(х), определенных на всей числовой прямой и удовлетворяющих условиям (1) - (5), и эти функции имеют вид
>S(x) = smx, С(х) = cosx.
Доказательство. Известно, что функции sin х и cos х, определенные в школьном курсе математики, удовлетворяют всем требованиям (1) - (5), и они непрерывны на всей числовой прямой.
Пусть S(x) и С(х) определены на R и удовлетворяют условиям (1) - (5).
Тогда в силу задачи 2 : S(x) = sin х и С(х) = cos х.
Следовательно, теорема 4 определяет единственную пару функций S (х) и С(х), которые можно принять за тригонометрические функции синус и косинус.
Отметим, что существование функций ^(х) и С(х) можно доказать независимо от геометрического определения этих функций (см. [2, с. 138]).
Определение. Функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие при всех х и у условиям (1)-(5), назовем соответственно тригонометрическими функциями синус и косинус и будем обозначать символами S (х) = sin х и С (х) = cos х.
§ 6. Задачи на решение функциональных уравнений
1. Найти все нетривиальные (ненулевые) функции /, непрерывные на всей числовой прямой и удовлетворяющие при всех х и у из R уравнению
f(x)f(y) = f(x~y)- 0)
Решение. Пусть существует функция /, определенная на всей числовой прямой R и удовлетворяющая уравнению (1) при всех х и у из R. Тогда уравнение (1) превращается в тождество. В тождестве (1) положим у = 0. Тогда получим [/ (0) -1] / (х) = 0. Отсюда, поскольку / (х) Ф 0 , следует, что /(0) = 1. Пусть в (1) у = х. Тогда /2(х) =/(0) = 1. Отсюда /(х) = 1 или /(х) = -1. Последнее равенство не может быть, так как /(0) = 1. Итак, /(х) = 1. Теперь легко заметить, что найденная нами функция /(х) = 1 действительно удовлетворяет уравнению (1). Таким образом, единственным решением функционального уравнения (1) является функция /(х) = 1.
Замечание. Надо отметить, что часто при решении функциональных уравнений учащиеся не делают проверку. Здесь проверка очень важна, так как при условии существования решения функционального уравнения найдена функция, которая вовсе не обязана быть решением функционального уравнения. Именно проверкой доказывается существование решения функциональных уравнений. В качестве контрпримера рассмотрим следующую задачу: найти все функции /(х), определенные на R и удовлетворяющие при любых х и у из R уравнению
f(x-y) = f(x) + f{y) + 3x2y + 3xy2. (*)
Пусть существует функция /(х), удовлетворяющая при всех х и у из
множества действительных чисел функциональному уравнению (*). Тогда
уравнение (*) становится тождеством. Полагая в (*) у — 0, получим /(о)=о.с учетом последнего из тождества (*) при у-х имеем
/ (х) = -Зх3.
Проверка показывает, что найденная функция не удовлетворяет уравнению (*) при всех х и у из R .
2. Найдите все функции /, определенные на R и удовлетворяющие при любых х и у из R уравнению
f(x-y) = f(x) + f(y)-2xy. (2)
Решение. Пусть существует функция /, определенная на всей числовой прямой и удовлетворяющая уравнению (2) при всех х и у из R . В тождестве (2) положим у = 0. Тогда получим, что /(0) = 0. Снова полагая в (2) у-х, находим
/(0) = /(х)+/(х)-2х2=0.
Отсюда / (х) = х2. Теперь проверим, что найденная нами функция / (х) = х2 удовлетворяет уравнению (2). Действительно, подставляя / (х - у) = (х - у)1, /(х) = х2, f(y) = y2 в уравнение (2), получим верное
равенство. Итак, ответом задачи является единственная функция / (х) = х2.
3. Найти все функции /, определенные на R и удовлетворяющие при всех х и у из R неравенствам:
f{x)<x,f{x + y)<f(x) + f(y). (3)
Решение. Пусть существует функция /, заданная на R и удовлетворяющая функциональным неравенствам (3). Полагая в первом неравенстве х = 0, а во втором у = 0, имеем
/(0)<0,/(х)</(х) + /(0).
Из последних двух неравенств следует, что
/(0) = 0. (4)
Во втором неравенстве из (3) полагая у = -х и учетом равенства (4), находим
О </(х) + /(-х). (5)
Заменяя в первом неравенстве из (3) х на - х , имеем
Д-х)<-х.
Отсюда с учетом (5) получим
Итак, имеем два неравенства
/(х)<х и х</(х), которые должны выполняться при всех х е R одновременно. Это возможно только тогда, когда f(x) = x .
