Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно видеть, что /(а) = log0 а = 1. Непрерывность функции (7) в
точке х = 1 следует из непрерывности показательной функции в нуле.
Таким образом, функциональное уравнение (1) на промежутке (0,+ со) в классе непрерывных в единице функций при начальном условии /(а) = 1 определяет единственную функцию, которая является логарифмической
функцией, и можно дать следующее определение логарифмической функции.
198
Определение. Логарифмической функцией с основанием а, а > О, а Ф 1 называется функция f(х), непрерывная в точке х-\, удовлетворяющая функциональному уравнению (1) при всех х и у из (0,+ оо) и условию f(a) = 1. Она обозначается символом / (х) = log0 х.
§ 3. Функциональное уравнение, определяющее степенную
функцию
(1)
Рассмотрим функциональное уравнение
f(*y) = f(x)f(y)¦
где / - определенная на R+ = (0, + оо) функция.
Задача 1. Пусть функция /(х) на промежутке R+ является решением уравнения (1) и тождественно не равна нулю на R+ . Тогда а) /(х) > 0 при всех х е R+; б) /(1) = 1;
в) /
1
/ОО
г)/
/(*)
/Су)
Решение. Пусть функция / при всех х и у из R+ удовлетворяет функциональному уравнению (1). Тогда уравнение (1) является тождеством.
а) Поскольку /(х) тождественно не равна нулю, то существует точка
х0 е R+ , такая, что /(х0) Ф 0. Тогда из уравнения (1) при всех х е R+ имеем
/Оо) = /
=/
/(х) 0.
Отсюда /(х) ^ 0 для любого х из i?+ .
Полагая в уравнении (1) х = у = t > 0, получим
Если t принимает значения от нуля до бесконечности, то t2 также пробегает промежуток (0, + оо). Поэтому /(х) > 0 при всех х е R+.
б) При х = у = 1 из уравнения (1) получим
Д1) = /2(1)-
Отсюда /(1) = 0 или /(1) = 1. В силу пункта а) /(1) = 1.
в) При всех у из R+ имеем:
/(!) = /
(1 ) =/ ГП
-у
U )
/00 = 1-
Отсюда
Ау)
г) Пусть х и у - произвольные положительные действительные числа. Тогда в силу в)
/
г \
X
\yj
= /
= /(*)/
л*)
Я у)
Задача 2. Пусть функция /(х) является на R+ решением уравнения (1). Доказать, что если:
а) функция / непрерывна в точке х = 1, то она непрерывна в любой точке
xeR+\
б) функция / дифференцируема в точке х = 1, то она дифференцируема в любой точке х е R+ .
Решение, а) Пусть х0 - любая точка из R+, отличная от единицы, и х —> х0. Тогда в силу уравнения (1)
/00 = /
( \ / N
X =/ X
--- *0
,*0 у VXOy
/(*<>)•
(2)
По условию функция / непрерывна в точке х = 1, поэтому при х —> х0
функция /
с \ х
—»/(!) = !. Тогда из равенства (2) при х —> х0 получим, что
f(x)—>f(xQ). А это означает, что lim/(х) = f(x0), т.е. функция /
непрерывна в точке х = х0.
б) Составим разностное отношение
f(x0 + h)-f(x0)
f(xo)f
г , \ x0+h
\ Xo у
-f(xo) .. 4 /
A*o)
1 + —
V *oy
-/(1)
(x0+h)-x0 h x0
где h Ф 0 , x0 + h e R+ . Найдем предел отношения
limf(x0+h)-f(x0) = limf(x0)[f(l + h,x0)-m] A~>0 h h-*° xr.
h/x о
- ^^lim + - /(x°)/'(!)
Y h->0
Л0
h/xо x0
так как no условию функция / дифференцируема в точке х = 1. А это значит, что существует конечный предел
|im/(! + */*.)-/(!> =/.(1)
*-*> h/xQ J
Следовательно, функция / дифференцируема в точке х = х0 и ее
Задача 3. Если функция /(х) непрерывна в точке х = 1 и является на R+
решением уравнения (1), то для любого yeR и любого а е R+ справедливы
равенства
/(«') =[f(a)Y. (3)
m=f, (4)
где t = ay , а - loga f(а).
Решение. Пусть а - произвольное, фиксированное положительное действительное число и пусть f(a) = Ъ . В силу задачи 1 число Ъ > О. Тогда на основании уравнения (1) и метода математической индукции при любом пе N
имеем
/(«") = [/(«)]" =ьп.
(5)
В силу задачи 1
/со=/
1
1
Vй У
/(«") [/(«)]
/(в°) = /(!) = ! = [/(e)] °=*°
Итак, для любого keZ
f(ak) = [f(a)]k=bk
(6)
Далее на основании (5):
/(«) = /
Отсюда
(я "Г
/(в")
1 1
Kan) = 4f{a)=[f{a)] «=*«.
(7)
т
Пусть г = — е Q, meZ, пе N. Тогда в силу (6) и (7) получим
(Я "Г
/(а")
m т
= [/(«)] " = *"
(8)
Я«г) = [/(«)]¦г=^г.
Пусть х - любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел гп, такая, что гп —» у. По условию функция / непрерывна в точке х = 1. В силу задачи 2 она непрерывна всюду на
