Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
/(х) = и/
V "У
Отсюда
/
=-/(*>
и
V И /
Тогда на основании равенств (4) и (5) при meZ , получаем
^ хЛ т—
Иу
/
—X \П
=/
\
= mf
V И у
171 Л \
= — Я*)'
И
(5)
/и
Таким образом, для любого рационального числа г = — справедливо
и
равенство
/(г х) = г/(х).
Полагая здесь х = 1, получим
/(г) = г/(1). (6)
Задача 2. Пусть функция / определена на й и там удовлетворяет
уравнению (1). Доказать, что если функция / непрерывна в точке х = 0, то она
непрерывна в любой другой точке числовой прямой.
Решение. Пусть х0 * 0 - произвольная, но фиксированная точка R и
х—>х0. В тождестве (1) полагая у = -х0, с учетом свойства нечетности функции /, имеем
/(х)-/(х0) = /(х-х0). (7)
По условию функция / непрерывна в нуле. Это означает, что предел
lim/(0 = /(0) = 0. (8)
f-»0
Тогда в (7), переходя к пределу при х —> х0, получим
lim[/(x)-/(x0)] = lim/(x-x0).
Х->Х0 X->Xq
Отсюда на основании теоремы о пределе суммы и (8) имеем
lim/(х)- lim/(х0) = /(0) = 0 о lim/(х) = /(х0).
X~>Xq JC->JC0
А это означает непрерывность функции / в точке х0. В силу произвольности точки х0 функция / непрерывна всюду на R .
Задача 3. Пусть функция / непрерывна в нуле и на R является решением уравнения (1). Доказать, что / (х) имеет вид
/(х) = х/( 1). (9)
Решение. Справедливость равенства (9) при х е Q показана. Пусть а -любое иррациональное число. Тогда существует последовательность
рациональных чисел гп, такая, что гп —> а . В силу (6) имеет место равенство
f(rn) = rnf(\). (10)
По условию функция /(х) непрерывна в точке х = 0. Тогда на основании задачи 2 она непрерывна всюду на R . В силу непрерывности функции / в точке х - а из равенства (10), получим
f(a)= lim f(rn)= lim гл/(1) = а/ (1).
п-»+со п-»+®
Итак, при любом хе R показана справедливость равенства (9).
Теперь остается отметить, что функция f (х) = f (1) х = ах, действительно, удовлетворяет уравнению (1).
Таким образом, функциональное уравнение (1) в классе функций, непрерывных в нуле, определяет линейную функцию вида /(х) = а х.
§ 5. Функциональные уравнения, определяющие тригонометрические функции синус и косинус
Рассмотрим функциональные уравнения
S(x + у) = S(x) С (у) + С(х) S (у); (1)
С(х + у) = С(х)С(у) -S(x)S(у); (2)
S2(x) + С2(х) - 1, х, у е R (3)
и следующие условия:
5(0) = 0, С(0) = 1, S
= 1 У*
П
К~2;
= 0; (4)
71
при 0<х< —: 0<5(х)<х. (5)
В дальнейшем докажем, что существует единственная пара функций S (х) и С(х), определенных на всей числовой прямой R и удовлетворяющих условиям (1)-(5). Предварительно из данных условий (1) - (5) выведем некоторые свойства функций S(x) и С(х).
Задача 1. Пусть функции S(x) и С(х) определены на всей числовой прямой и удовлетворяют условиям (1) - (5). Доказать, что:
1) S(-x) = -5(х), С(-х) = С(х) при любом хе R ;
2) S (х) и С(х) ограничены на R ;
3) S(x) и С(х) непрерывны на R;
4) S(x) и С(х) являются периодическими с периодом 2п ;
5) при 0 < х < п функция ?(х)>0, при п<х<2п функция ?(х)<0;
7Г ЗтГ 7Г ЗтГ
при 0 <х< — и — <х<2к функция С(х) >0, при — <х < — функция
С (х) < 0.
Решение. 1) В тождествах (1) и (2) положим у = -х . Тогда в силу условий
(4) получим
J S (х) С (-х) + С(х) 5 (-х) = 5 (0) = О,
\ С (х) С (-х) - S (х) S (-х) = С (0) = 1.
Решим эту систему относительно S(-x) и С(-х). Умножим первое уравнение на S (х), а второе уравнение на С(х) и полученные равенства сложим. Тогда, учитывая тождество (3), получим С(-х) = С(х). Аналогично, умножая первое уравнение системы (6) на С(х), а второе уравнение этой системы на - S(x) и складывая их, получим 5(-х) = - S(x). Таким образом, 5,(х) - нечетная функция, а С(х) - четная.
