Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. 1) Пусть а - любая точка из R, отличная от нуля, и х— Поскольку /(0) = 1, то
f{x) = f{a + (x-a)) = f(a)f(x-a). (2)
По условию функция / непрерывна в точке х = 0, поэтому при х —> а функция /(х-а)—»/(0) = 1. Тогда из (2) при х—получим, что /(х)—> f{a), а это означает, что lim /(х) = /(а), т.е. функция /
х—>а
непрерывна в точке а .
2) Составим разностное отношение
f(a + h)-f (а) = f(a)f(h)-f{a) = f{h)~ 1
(a + h)-a h h
где h Ф 0 , и найдем предел отношения
lim h)— ) = lim/(а) ^ 0),
А—>0 /j V 7 /j
так как по условию функция / дифференцируема в точке х = 0 . А это значит, что существует конечный предел
lim = у'(0) .
А—>0 /j У '
Тем самым доказана дифференцируемость функции / в точке х = а и производная функции / в любой точке х е R равна
f'(x) = f'{Q)f{x). (3)
Теперь нетрудно показать, что функция / имеет производные любого порядка пе N, п> 2. В самом деле, из равенства (3) имеем:
/' М = (/' (*))' = ( /'(°) / (*))'=/'(0) /'(*) = [/' (0) ]2 / (*) ¦
/'(*) = (/’(*))’ = ([/’ (0) ]! / МУ =Г/'(0)]7’М = [/’(0)]s / W........
Итак, при любом п е N
/<¦>(*) = (/<-> (х)У = [/'(<>)]¦/(*).
Задача 3. Если непрерывная в нуле функция /(х) является решением
уравнения (1) и /(1) = а Ф1, то она имеет вид f(x) = ax.
Решение. Пусть /(1) = а Ф1 ив силу задачи 1 число а > 0 . Покажем, что
значения функции /(х) определяются однозначно на R. В самом деле, на
основании задачи 1 и метода математической индукции при любом neN, получим
/(п) = /(1 + 1+...+1) = [/(1)]" =а",
f{n) an
Справедливость последних равенств читателю предлагается проверить самостоятельно.
Итак, для любого целого числа к & Z имеем / (ft) = ак.
Далее, рассуждая аналогично, получим
/(!) = /
Г fl 1 о rn"
= / ---+ ---+.. f
Я/ кп п п - КП;_
т\ ' т т т ) (тЛ
- = / 1 = f -
+
п ) кп п п ) \п )
Отсюда
/ 1 \ 1 / \ ____ __ 1 т
/ - =V70)=^ = a;, / - \ = i(f{m)=^ = {ату = д7.
\п) \п)
т т.
Заметим, что если — = —- (это значит т-п1=п-т1), то
/ - =/
f \ т
\пи
, т.е. значение функции / в рациональной точке г € Q не
т
зависит от представления рационального числа г в виде дроби — .
п
Таким образом, f(r) = ar при всех х-r из множества Q. Пусть х = а eJ, т.е. а - иррациональное число. Тогда, как известно, существует последовательность чисел rn е Q, такая, что гп —> а. По условию задачи функция / непрерывна в точке х = 0. Тогда в силу задачи 2 она непрерывна всюду на R , в частности, в точке х = а . Отсюда следует, что
f{a) = lim f(r„) = lim a" = aa .
Итак, при всех xeR : f(x) = ax.
Из этой задачи следует, что если /(1) = а = 1, то /(х) = 1 на R. Действительно, в силу задачи 3 f{r) = 1 при всех reQ. Пусть aeJ. Тогда существует последовательность рациональных чисел гп такая, что гп —>• а ив силу непрерывности функции / в точке a : lim f(rn) = f(oc) и lim f(rn) = 1.
r„-*a r„->a
Отсюда, в силу единственности предела, /(а) = 1.
На основании решенных задач 1-3 можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема. Для каждого положительного числа a > 0 и а Ф 1 существует
единственная непрерывная в нуле функция f, удовлетворяющая уравнению (1) при всех х и у из R и условию
/(!) = «¦ (4)
Эта функция имеет вид f(x) = ax.
Доказательство. Существование. Пусть а> О и а *1. Из школьного курса математики известно, что на основании определения степени с рациональным показателем для каждого х = г - p/q, р е Z , q е N, однозначным образом определяется значение
р I
ar =aq =(ap)q. (5)
Отметим, что определение (5) не зависит от записи рационального числа г в виде дроби pjq, т.е. при любом т е N верно равенство
р pm 1 1
а1 =а^ или {ap)q ={apmYn .
Теперь покажем, что функция f(r) = ar при любом г из Q удовлетворяет функциональному уравнению (1). Возьмем произвольные рациональные числа г и s и запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
