Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
,=1 Г i=l Г Г г
Функции из примеров 2 и 3 называются фундаментальными (главными) решениями уравнения Лапласа. Для этих решений характерно то, что когда г —> 0 они обращаются в бесконечность. В случае п-2 фундаментальное решение имеет логарифмическую особенность, а при л > 2 - степенную особенность.
Отметим, что если функции м,(х), и2(х), ... , ик(х) являются гармоническими в области D, то в силу линейности и однородности уравнения (1) любая их конечная линейная комбинация alul(x) + a2u2(x) + ... +akuk(x), где
ai, i = \, к, - произвольные постоянные, также является гармонической в D.
Существует одно очень важное преобразование функций, сохраняющее свойство гармоничности, связанное с преобразованием инверсии относительно заданной сферы (окружности в плоском случае). Пусть SR - сфера (окружность
в случае л = 2) радиуса R с центром в начале координат х0=0.
Преобразование пространства R", при котором каждой точке х, лежащей внутри шара BR с центром в точке х0 = 0, ставится в соответствие точка % вне
шара BR, лежащая на луче х0х, для которой справедливо равенство
f- R 111 1 I 12
g — X —— , r = Xj +X2 + ... +xn = ] X I
или же по координатам
(2)
называется инверсией относительно сферической поверхности SR. При этом
точки х и ? называются гармонически сопряженными относительно сферы SR. На основании (2) нетрудно заметить, что
|#|-М = я2- <3>
При этом преобразовании точки сферы SR остаются неизменными, вся та часть пространства, которая находится внутри (соответственно вне) шара BR отображается в ту часть пространства, которая находится вне (соответственно внутри) BR. Можно показать, что при инверсии линии преобразуются в линии, поверхности - в поверхности, области - в области. При этом неограниченные области преобразуются в области, содержащие начало координат, а области, содержащие начало координат - в неограниченные. В частности, если область D при инверсии преобразуется в область D', то область D' преобразуется в область D . Такие области будем называть взаимно сопряженными.
Надо отметить, что преобразование инверсии само по себе, вообще говоря, при п > 3 не сохраняет гармоничность функции. В качестве примера при п = 3 рассмотрим гармоническую функцию
ч 1 1
и(*р х2, х3)= - =-}======. (4)
2 . 2 , 2 Л, +х2 +х3
После преобразования инверсии относительно сферы единичного радиуса с центром в точке х = 0, т.е. после замены х(. на р2,
р2 =\4\2 = 4i + 4i + 4з< Функция (4) преобразуется в функцию и(?, <^2, ?3) =
= и
'JL А \р2’ р1
к
р2
= р, которая уже не является гармонической. Однако устраняется, если воспользоваться следующим
отмеченный недостаток утверждением.
Теорема Кельвина. Если функция и (х) гармоническая в области D, то функция
1
Р
п-2
к. 4 Л 1 и ('12
? ¦j • z>n
• ? Л
1р2 р Р Р"~ кр\
(5)
при рф 0 гармоническая в области D', сопряженной с D при инверсии относительно сферы единичного радиуса.
Доказательство следует из тождества Ди(?) = г"+2Ди(х) (см. [10, §17]). Отметим, что функция (5) при инверсии относительно сферы SR произвольного радиуса R имеет вид
rRT2 (R2
- и —
\Р) \Р
§ 13. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле
В этом параграфе мы установим одно из важнейших свойств гармонических функций и покажем его применения.
Теорема 1 (внутренний принцип экстремума). Если функция и (х)
является гармонической в ограниченной области D a R”, непрерывной на замкнутой области D = D и Г и отличной от постоянной, то наибольшее (наименьшее) значение этой функции по D не может достигаться внутри области D, т.е. наибольшее и наименьшее значения достигаются только на границе Г.
Доказательство. Пусть max и(х) = т, max и (х) = М . Предположим,
что функция и(х) внутри области D принимает значения, большие чем т. Тогда существует точка х0е D такая, что и (х0)=М , М >т .
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
о(х)-и (х) + ™-г2, (1)
где г = р(х, х0) - расстояние между точками х и х0,
г2 = р2{х, х0) = (х,-х<0))2 + ...+ (*,¦ -х[0))2 +...+ (х„ -х<0>)2,
Y — (Y у у Y \ Y =(y(V -Г*0) Г(0^
л Л2> *•*’ i9 лп) * л0 \л\ 9 л2 > Л1 ’ п ) ’
