Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
^а + вЛ ал-В , аа+Ь + ав + Ь и(а) + и(в)
= а----— + Ь =-----------------= ----=
2 2 2
1 р' 1 р'
\u(x)dx =-------- \(ax + ti)dx.
р-а а р-
Аналогичным свойством обладают и гармонические функции.
Теорема 1 (о среднем арифметическом). Если функция и(р,ср)
является гармонической в круге DR= {(р, (р)\ р <R) и непрерывной на
замкнутом круге DR , то ее значение в центре круга DR равно среднему арифметическому ее значений на окружности р = R , т.е.
1 2яR 1 2яЯ
и(0, (р) = - — { f(s)ds=—— ju(R,s/R)ds. (2)
2.71 К. о In К о
Доказательство. По условию функция и(р, (р) удовлетворяет условиям теоремы 2 § 13. Тогда она представляется в виде интеграла Пуассона:
1 2*я R2 — п‘2
и{р,(р) = —— I -----ГТЪ-----\ds- (3)
2пR о R + р -2Rpcos[s/R-(p)
Полагая в формуле (3) р~ 0, получим равенство (2). А это и означает, что м(0,^) равно среднему арифметическому значений и на окружности p-R.
Далее линейная функция (1) является бесконечно дифференцируемой и аналитической на числовой прямой.
Теорема 2 (аналитичность). Всякая гармоническая в области G функция является бесконечно дифференцируемой и аналитической в этой области.
Действительно, если (х0, _у0) - произвольная точка области G, то
найдется круг DR, содержащий в себе эту точку и целиком лежащий в G, т.е.
(х0, y0)eDR и DR cG. Тогда функцию и в круге DR можно представить в виде интеграла Пуассона (3). На основании следствия из теоремы 2 § 14 функция и имеет производные любого порядка в круге DR , в частности, в точке
(х0, у0). Аналитичность функции и (х, у) в точке (х0, у0) означает, что эта
функция разлагается в ряд Тейлора по степеням (х-х0) и (у-уо) в малой
окрестности точки (х0, _у0) :
и (г ,л= v дР+ч и (* ~ Х°У (У ~ УоУ
P$to дхр ду4 p\q\
Доказательство этого утверждения также проводится на основании формулы Пуассона [9, с. 219].
Следствие. Производная любого порядка от гармонической в области G функции сама является гармонической в этой области.
Для доказательства достаточно заметить, что
дхр ду
я
д
к
(Дм), k = p + q.
дхр ду9
В § 13 было установлено экстремальное свойство гармонических функций подобно тому, что наибольшее и наименьшее значения линейной функции (1) на сегменте [a, J3] достигаются на концах этого сегмента. Здесь приводится доказательство внутреннего принципа экстремума на основании свойства о среднем арифметическом.
Теорема 3 (внутренний принцип экстремума). Если функция и является гармонической в области G и непрерывной на замкнутой области G и достигает наибольшее (наименьшее) значение по G внутри этой области, то и (х, у) = const в G.
Доказательство. Пусть функция и (х, у) во внутренней точке Q области
G достигает наибольшее значение по замкнутой области G, т.е. глобальный максимум: u(Q) = max и(х, у) = М . Тогда существует замкнутый круг DR
G
радиуса R с центром в точке Q, целиком лежащий в области G. Ясно, что и<М на G, в частности, и<М при всех (x,y)eDR. Докажем, что и(х, у) = М на Dr . Допустим, что в некоторой точке А границы Гд круга DR функция и(А) <М (если точка А , где и (А) <М , лежала внутри круга DR , то, уменьшая радиус круга, добивались бы того, чтобы А е Гд). Поскольку функция и непрерывна в точке А, то найдется часть окружности Гд такая, что на Г,: и <М . Теперь, применяя теорему 1 о среднем арифметическом для круга Dr , получим противоречие :
и(0)= М -—-— f uds = —-— f uds + —-— [uds <
2nR I 2nR JrA 2nR I
< —-— f M ds ч—-— f M ds = M .
2лR fR\ fA 2nR rA
Таким образом, u(x, y) = M всюду на DR . Пусть Q1 - любая точка, отличная от Q и лежащая на границе или внутри круга DR . Построим круг Д. радиуса г с центром в точке Qx так, чтобы он целиком лежал в области G. Аналогично рассуждая, покажем, что и=М всюду на Dr. Чтобы доказать, что функция и равна u(Q) = M в любой точке Р, лежащей внутри G , соединим точки Q и Р ломаной линией с конечным числом отрезков, целиком принадлежащей области G. Тогда можно построить конечную цепочку кругов, лежащих в G и покрывающих ломаную QP, при этом центр каждого последующего круга из данной цепочки лежит на границе или внутри предыдущего. Принимая первый из зтих кругов Dr за Ц, второй за D2 и т.д., последний за Dm, где содержится точка Р, рассуждая аналогично выше, получим, что и(Р) = М .
Заметим, что если линейная функция (1), заданная на числовой прямой, ограничена снизу или сверху, то она постоянная. Действительно, линейная функция (1) ограничена снизу или сверху на R только тогда, когда a = 0, т.е. она постоянная всюду на R. Аналогичное свойство имеет место для гармонических функций.
