Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
«1» ^2> un’
расходилась бы, что невозможно.
Обобщенные решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных имеют важное значение. На практике достаточно решать задачу об отыскании обобщенного решения, так как в физических задачах нам неизвестны точные значения начальных или граничных данных. Те их значения, которые мы используем, не являются точными, а лишь мало отличаются от точных значений. Поэтому обобщенное решение, даже если оно не является истинным, мало будет отличаться от точного решения.
2.3. Физическая интерпретация решения. Рассмотрим найденное решение (22) задачи (15, (16), (4). Если ввести обозначения
ак ~ Ак sin <рк > bk=Akcos<pk, то частные решения uk(x,t) можно представить в виде
. . клх . (клat
м*СМ) = -A-к sm—“Sin —— + рк {*)
I \ I у
Отсюда видно, что каждая точка х струны совершает гармонические колебания
с амплитудой Ак sin—-—, зависящей от положения этой точки, с частотой кпа
(ок = —-— и с одной и той же фазой (рк. Движение струны по закону
гармонических колебаний (*) называют стоячей волной. Тогда решение (22) представляют бесконечную сумму стоящих волн.
При колебании струна издает звук. Звуки можно классифицировать на музыкальные и немузыкальные - первые называются нотами, вторые - шумами. Музыкальные звуки располагаются в определенном порядке по высоте -качеству, которое до известной степени может оценивать каждый. Те ноты, которые ухо не может различать по высоте, называются тонами. Высота звука зависит от частоты колебаний; частота основного (самого низкого) тона
па п Тп
определяется формулой сох =--------= — —. Тона, соответствующие более
/ I \ р
высоким частотам, чем основная, называются обертонами. Обертоны, частоты
которых являются кратными основной частоте сох, называются гармониками.
Первой гармоникой считается основной тон, второй гармоникой - тон с частотой
а>2 = 2а>х и т.д. Следовательно, решение (22) складывается из отдельных
гармоник, амплитуда которых стремится к нулю при увеличении номера
гармоники, так как ак и Ък стремятся к нулю при к—»+со. По этой причине
влияние гармоник на звук, издаваемой струной, обыкновенно быстро убывает при возрастании номера гармоники и все их действие сводится к созданию тембра звука.
п 1 21 , « - / -
В точках х = 0, —, —, ..., ----/, / амплитуда колебании к-и гармоники
к к к
. кпх, . ^
обращается в нуль, так как в этих точках sin—— = 0. Эти точки называются
узлами к -й гармоники. В процессе колебаний узлы остаются неподвижными.
2т+ 1 . кп
Точки хт =--------/ (т = 0,1, —1), в которых sin—х = ±1, совершают
2 к I
гармонические колебания с максимальной амплитудой Ак называются
пучностями к -й гармоники или стоящей волны.
Если прижмем колеблющуюся струну точно в середине, т.е. в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуда не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности в этой точке, т.е. нечетных гармоник. На четные гармоники, которые в прижатой точке имеют узел, это влиять не будет. Тем самым остаются только четные гармоники, самой низкой частотой будет
со2 = 2сох, и струна будет издавать не основной звук, а его октаву, т.е. звук с числом колебаний вдвое большим в секунду. Такой прием изменения тона часто применяется при игре на скрипке, гитаре и других струнных и носит название флежолета. Если прикоснуться к струне в точке х = 1/3, то высота основного
тона повышается втрое, так как при этом сохраняются лишь гармоники, имеющие узлы в этой точке.
Формулы
определяющие соответственно частоту и период основного тона, объясняют следующие законы колебания струн, открытые впервые экспериментально Мерсеном.
1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяжения период колебаний струны пропорционален ее длине I.
2. При заданной длине струны период меняется обратно пропорционально корню квадратному из натяжения Т0.
3. При заданной длине и натяжении период меняется пропорционально корню квадратному из линейной плотности р струны.
2.4. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах. Здесь будем искать решение u{x,t) уравнения вынужденных колебаний однородной струны
utt-a2uxx = g(x>0< (36)
где g(x,t) = p(x,f) /р - заданная внешняя сила, действующая на струну, в
классе функций C2(G), удовлетворяющих начальным условиям (4) и однородным граничным условиям (16). Решение этой задачи найдем в виде суммы
u(x,t) = v(x,t) + co(x,t), (37)
