Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
¦ v ' '-'Vm
(50)
/ Y V „ клх f I V ak(t)
— \gxx{x,t)wa.— dx =-------------
лк J * / \л J к
причем функциональный ряд из квадратов непрерывных функций ak(t)
+00
2/
2Х(0<+°° (51)
в силу неравенства Бесселя сходится при любом fe[0, 7J]. Далее (50) подставим в (49), а последнее - в ряд (41). Тогда имеем
, ч (О3 1 ^ 1 V , ч ¦ г , „ , . клх
o(x,t) =------Х77 a*(j)sm[fl)t(r-j)]ds-siii——. (52)
а к=1 к 0J /
Этот ряд при любом (x,t) е G мажорируется сходящимся числовым рядом
гДе К (О |
= max
0</<Г,
) а к=1 к
|а*(0|. *о - фиксированная точка отрезка [0,Г,].
Следовательно, ряд (41) сходится абсолютно и равномерно в G . Почленно дифференцируя ряд (52) по х и t дважды, получим ряды :
Сходимость этих рядов следует из сходимости ряда (51) и оценки:
равномерно в замкнутой области G , поэтому функции о^ и иа непрерывны на
G . Если теперь подставим (53) и (54) в уравнение (38), то с учетом (50) и (43) получим, что функция и(х,?), определяемая рядом (41), является решением
уравнения (38)в G .
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 3. Если функции ср0(х) и фх(х) удовлетворяют условиям
теоремы 2, а функция g(x,t) непрерывна на G и там имеет непрерывные частные производные по х до второго порядка включительно и g(0,t) = g(l,t) = Q при 0 <t <TS, то существует единственное решение задачи (36), (4) и (16) и это решение определяется в виде суммы (37), где функция v(x,t) определяется как сумма ряда (41) с коэффициентами (49) и (44), а функция co(x,t) определяется рядом (22) с соответствующими коэффициентами (25) и (26).
2.5. Вынужденные колебания струны с подвижными концами В предыдущих пунктах была изучена начально-краевая задача (2) - (5) при весьма важных частных случаях. Оказывается решение общей задачи (2) - (5) легко сводится к задаче с однородными граничными условиями, изученной в п. 2.4. В самом деле, предполагая, что граничные функции й,(0, h2(t) из класса
С2[0,7]], введем вспомогательную функцию
и
XX
(53)
/- ^ 1 ' '—х,
+ - (54)
которые при любом (x,t) е G мажорируются соответственно рядами :
IT, g K(Ol (I g h(Ol [ laTx g Iak(tp)I
ряды (53) и (54) сходятся абсолютно и
z(x,t) = hl(t) + [h2(0-A,(0] j, (55)
которая удовлетворяет граничным условиям (5):
z(0,t) = hx(t), z(l,t) = h2(t). (56)
Решение нашей задачи (2) - (5) будем искать в виде суммы
u(x,t) ~ v(x,t) + z(x,t), (57)
где v{x,t) - новая неизвестная функция. На основании граничных условий (4) и
(56) функция v(x,t) удовлетворяет нулевым граничным условиям :
=KLo“zLo = Ai(0-*i(0s0,
°(х’0\х=1 =u\x.l-z\^l=h2(t)-h2(t)s0.
Исходя из соотношений (55), (57) и (36) с учетом начальных условий (4), имеем
° (*> 0 L = «| ы, - * | ,=о = <Ро (*) ~ hi (°) “ ^2 (0) - К (°)] у = Ро (х) -
°t (х’0 I ,=о = ut I ,-о ~ Lo = ^ W ~ Л' (°) “ № (°) - К (°)] у = Й (¦*) -
=(u-z)"-a2(u-z)xx=ull-a2uxx-(zll-a2zxx) =
= g(x, t) - h”(t) - [h”(t) - h”(t)] у = g(x, t) .
Таким образом, относительно неизвестной функции v{x,t) получена следующая задача: найти решение v(x,t) уравнения
=?(х,*), (58)
удовлетворяющее начальным условиям
v(x’t)\l=0=Po(x)’ o,(x,t)\t=0 =р1(х), о<х<1, (59)
и однородным граничным условиям
u(*’f)Lo = v(x>t)\x=l =0- (6°)
Если функции ф0(х), фх(х) , g(x,t) удовлетворяют условиям теоремы 3, то существует единственное решение задачи (58) - (60) в классе функций C2(G). Таким образом, справедлива
Теорема 4. Если (х) е С3[0, /], ф1(х)еС2[0,1]; ^(t),
h2{t) е С2[0,Г,]; g(x,t), g'x(x,t), g'a(x,f) eC(G) и ф0(0) = hl(0),
<p0(l) = h2(0), (р”0(0) = (р”0{1) = 0, фу(0) = h[(Q), ft(/) = ^(0), g(0,0 = AT(0.
g(l,t) = h2(t), то существует единственное решение задачи (2) - (5).
§ 11. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера
1. Постановка задачи Коши для уравнения струны
