Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
dо(у (t)) _ у, ди dyi ^ у, до ^ ^
d t i=i дуг dt i=i ду\
Если такая кривая, начавшаяся при t = t0 внутри куба Ks, при возрастании t в первый раз достигнет Ке при некотором значении t = tv тогда вдоль этой кривой: о(у (t0)) < ие < и(у (f,)), что противоречит убыванию функции о (у).
II. Пусть теперь выполнено более сильное условие в). Выберем 8 по ? так же, как это делалось выше. Тогда по доказанному выше все интегральные кривые, начинающиеся при t = t0 внутри куба Ks, при возрастании t остаются
внутри куба Ке. Покажем, что любая такая интегральная кривая у. yt = у1 (У),
i = 1, п , t > t0, при t —> +оо стремится к началу координат, т.е. lim yt (t) = О
f-»+ оо
для каждого i, i= 1, п. Вдоль интегральной кривой у функция о (у) убывает.
Покажем, что lim o(y(t)) = 0. Пусть это не так. Тогда у убывающей и
t-?+00
неотрицательной функции v(y(t)) существует положительный предел lim o(y(t)) = d0 > 0 и, кроме того, u(y(t))>dQ при t>t0. Тогда кривая у
(—>+ СО
целиком расположена вне некоторого куба Ks с достаточно малым 8 > 0 и в силу условия в) вдоль кривой у имеем
dt u
так как вне куба Ks функция w > а = const > 0. Интегрируя это неравенство от t0 до t, получим
v{y{t))<v{y(t0))-a{t-t0).
Отсюда следует, что при t —>+оо функция o(y(t))—>- оо , что противоречит определению функции о(у). Итак,
lim o(y(t)) = 0. (10)
f-»+со
Докажем теперь, что lim yt (t) = О при любом i. Предположим противное,
(->+00
тогда найдется такое 8 > О и такая последовательность tk—> + оо, что |>>; (?*)| > <? при некотором i. На замкнутом ограниченном множестве S<yi<? функция о(у) строго положительна, поэтому существует число /?>0 такое, что о(у)>/3> 0 и тогда o(y(tk)) >/?>0, что противоречит
пределу (10). Итак, lim^(. (0 = 0. г' = 1,и, т.е. нулевое решение системы (1)
(->+00
асимптотически устойчиво.
III. Пусть для определенности производная do(y(t))/dt функции о(у) на решениях системы (1) является положительно-определенной. Тогда по условию о (у) не является отрицательно-постоянной, т.е. в любой окрестности
начала координат существует точка у, в которой о(у)> 0 и, следовательно, область, в которой о(у) > а > 0, где а - некоторое число. Предположим, что нулевое решение устойчиво. Тогда для любого s > 0 существует 8 = 8 (s) > О
такое, что из условия | J^o) | > г = 1, «, вытекает справедливость
неравенств | y.(t) \ <е , i = l,n, при всех t>t0. По условию в окрестности начала координат найдется точка у0 такая, что о( у0) > а . Эту точку возьмем за начальную: у(*о) = Уо или по координатам: yi(t0) = у^’,
у0 = (yf0), У2°\ •••, У(„0))- Покажем, что при всех t>t0 справедливо неравенство o(y(t))>a, где у = у( 0 _ решение системы (1),
удовлетворяющее условию y(t0) = y0¦ Пусть при некотором t = tx>t0 имеет место равенство u(y(tx)) = a . Тогда Ao = o(y{tl))-o{y(t0))<0 , а с другой стороны, на основании теоремы Лагранжа имеем
du(y(t.))
В силу устойчивости: \у^*)\<? и, кроме того, o(y(tt))>a. В силу положительно-определенности производной d o(y(t))/dt для любого а > О существует число Р > О такое, что
^М2>/г>о
dt
для всех t>t0. Тогда Ао > р (f, -t0) > 0. Получено противоречие, следовательно, o(y(t)) > а . Итак, при любом t > t0
о( y(t))-o( y(t0))=d°^^ (t-t0)>P(t-t0), t0<7 <t.
d t
Отсюда при t—>+oo следует, что o(y(t)) —> + оо, но, с другой стороны, функция o(y(t)) должна быть ограниченной, так как по предположению
| yt(t) | < s , z' = l, п . Теорема 1 полностью доказана.
Замечание 1. Функция о (у) = и(у1, у2,..., уп) из теоремы 1 называется
функцией Ляпунова. Не существует общего метода построения этой функции, когда решение системы (1) неизвестно. В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы
п
»(Ух, Уг> - ¦> Уп)= T,aijyiyj
U=1
или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от функций, входящих в правую часть данной системы.
Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы с помощью функции Ляпунова
И"*"?’ (id
[У2 =У1-У2-
Решение. Система (11) имеет нулевое решение УЛО = У2 (0 = 0-
Рассмотрим функцию о(у1}у2) = у\ + у2 , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова:
а) °(У1,У2)>° при у\ + у2 >0 и и(у1,у2) = 0 только при ух = у2 = 0;
б) вдоль любого решения у,-(0, г =1,2 системы (11) производная функции o(ylty2):
do до dy, до dy, _ , , ч „
