Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
(12)
к=1
или в координатной записи
? ^'k(x)yjk)(x)=:bi(x), i = l, и. (13)
k=1
Доказательство. Согласно теореме 4 общее решение однородной системы (4), соответствующей системе (2), имеет вид
й(х) = ?скук(х), (14)
к=1
где ск - произвольные постоянные; ук(х), к = \,п, - фундаментальная
система частных решений однородной системы (4). Теперь общее решение
неоднородной системы (2) будем искать в том же виде (14), но считая ск как
некоторые функции переменной х, т.е. в виде (11).
Подставляя (11) в систему (2), получим
п п п _
Z с’к (х) У к (х) + ? с к (х) ук (х) = А{х) X Ск (х) ук (х) + Ь(х) =
к=1 к=1 к=1 п _ п
= Ъск {х)А(х)ук (х) + Ь(х) = ^ск (х)ук (х) + Ъ (х)
к=1 к=1
или
Z с'к i.x)yk{x) = b{x). к=1
Равенства (12) или (13) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно ск{х) , к = 1, л , определитель которой совпадает с определителем Вронского W\ ух(х), у2(х),ЯД*)]- Поскольку
ук(х), к = 1, п, образуют фундаментальную систему решений системы (4), то определитель Вронского отличен от нуля на <а, /?>. Поэтому система (12) или (13) имеет единственное решение
c'k(x) = fk(x), к = 1,п, где fk(x) - известные функции. Отсюда
ск(х) = \fk{x)dx + c.k, ск= const.
Подставляя это в (11), имеем
y(x) = jr ck(x)yk(x) + i (15)
к=1 к=1
Последнее выражение в силу теоремы 5 представляет собой общее решение системы (2). Причем легко понять, что второе слагаемое в правой части (15) есть частное решение
»(*) = ? \fk(x)dx-yk(x) к=1
неоднородной системы (2).
Пример 1. Найти общее решение системы
\у[ =У2 +cos
1 1 ? (16)
Ьг=->;1+1, xeR-
Решение. Рассмотрим соответствующую однородную систему
|":'=Уг’ ил
1^2 =~У1-Отсюда, исключая ух или у2, находим
У2+У2=0 ( или у" + уг =0).
Решая это уравнение, получим
у2(х) = сх cos х + с2 sin х.
Тогда
у j (jc) = -у2 (х) = -(с1 cos х + с2 sin х)' = сх sin х-с2 cos х.
Итак, общее решение однородной системы (17) имеет вид
{уАх) = с, sin х-с-, cos х,
\ (18) [>>2 (х) = Cj cos х + с2 sin х .
Подставляя эти значения в систему (16), считая сх и с2 неизвестными
функциями от х, будем иметь
Гс[(х) sin х-с'2(х)cos x = cos х,
[cj(;c) cos x + c'2(x) sin x = \ .
Отсюда находим:
c\(x)= sin x cos x + cos x = — sin 2x + cos x,
2
c2 (x) = sin x - cos2 x = sin x
1 + cos 2x
Решая эти простые уравнения, получим
сх{х)=\ с2(х)= J
— sin 2х + cos х 2
cos 2х
+ sm х + с,,
/
sm х~-
v
I_I 2 2
cos 2x
dx + c2 =-cosx- — X-—sin 2x + c2-
4
1 1 .
— X---E
2 4
Подставляя cx(x) и c2(x) в (18), окончательно находим общее решение системы (16):
, л ¦ 1 1 • 1
уЛх) = с, sm jc-c, cos х + — xcosa: + — sm x + l,
11 2 2 4
11 y0(x) = c, cos x + c0 sm x — x sm x — cos x .
2 2 4
3. Линейная однородная система с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейную однородную систему
У\ =аиУ\ + а12У2 + ... + аХпуп, у'2=а21у1 + а22у2 + ...+а2пУп,
(ТУ)
Уп =ат У1+ап2У2 + -+аппУп’ где коэффициенты atj, i,j = l,n, являются постоянными.
Решение системы уравнений (19) можно найти путем исключения неизвестных системы и сведением ее к дифференциальному уравнению более высокого порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией.
Пример 2. Решить систему
(20)
\Ух=Ух~Уг>
Ы =^1+72 •
