Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Если ранг г матрицы М(кх) больше п-т, то п — г<т и, следовательно, число полученных решений будет меньше кратности т . Чтобы найти недостающие решения, мы должны, как в случае одного уравнения п -го
порядка, искать решения в виде линейных комбинаций функций : ек>
Хт~рек'х, p = n-r> 1.
Пример 4. Решить систему
к, х
хек'х,
y[ = 2yt+y2+y3>
У2 ~ Уъ ? (32)
у\ =2у1+у2 + 2у3.
Решение системы (32) будем искать в виде
У1=Г^кх, У2=У2екх- Уъ=Гъекх-Тогда, подставляя их в (32), получим систему для нахождения ух, у2 и уъ\
{2-к)у1+у2+у3=0,
~2ух -ку2-уъ-0, (33)
2у1+у2+(2-к)у3=0.
Условие разрешимости системы (33) нам дает характеристическое уравнение
2-к 1 1
= (2 - к) (1 - 2к + к2) = (2 - к) (к -1)2 = 0 .
-2
2
-к -1
1 2-к
Его корни равны: кх = 2, к2 = к3 =1. Для простого корня кх-2 найдем решение системы (33), которая в этом случае имеет вид
' у2+уз =°,
< 2yl+2y2+yi=0,
2 у1+у2 =0.
Отсюда находим 2ух =-у2 =уъ. Тогда соответствующее решение системы (32) имеет вид
ум=е2х, у2] = -2е2х, у?=2е2х.
Для корня к = 1 кратности 2 из системы (33) при к = 1 имеем
'Ух+Уг+Уз = °>
< 2ух + у2 +уъ =0, (34)
2Ух+У2+Уз =0.
Легко видеть, что ранг соответствующей матрицы г = 2, тогда число линейно независимых решений системы (34) равно п-г = 3-2 = 1. Корень к = 1 имеет
кратность т = 2. Поскольку т > р = n-r = 1, то решение системы (32) надо
искать в виде линейной комбинации функций ех и хех, т.е. в виде
yl=(a + bx)ex, y2=(c + dx)ex, y3=(f + gx)ex. (35)
Чтобы найти коэффициенты а , Ъ , с, d, / и g, подставим систему (35) в (32). Тогда получим
b + d + g = 0, Ь = а + с + /, i-26-J-g = 0, d = -2a-c-f, (36)
2b + d + g = 0, g = 2a + c + f.
Найдем общее решение системы (36). Из правых уравнений имеем d = -g,
тогда из левых уравнений следует, что Ь = 0. После чего система (36) принимает вид
а + с + / = 0,
g = 2а + с + / = а + а + с + / = а,
' Ь = 0, d = -g .
Отсюда а = g, 6 = 0, c=-f-g, d = -g, таким образом, все неизвестные
выражены через / и g. Пусть / = с, и g-c2. Тогда а = с2, Ь = 0,
с = — с, — с2, d = -c2. Подставив найденные значения a,b,c,d, fug в (35), находим
у1=с2ех, у2 = (с, + с2 + с2х) ех, уг= (с, + с2х) в"".
Тогда общее решение системы (32) определяется по формулам :
Ух (х) = Ух+с3 у - с2 е* + с3 e2jc ,
У2 (Х) = У2 + сз У 2 - - (СХ + С2 + С2Х) е* - 2 с3 е2-1,
-2х
Уз (х) = >з + сз У 3° = (ci + С2Х) еХ + 2 с3 е2 Пример 5. Решить систему
У\=Уг+Уъ< У2=Уз+Ух- Уз=У,+У2-Решение системы (37) ищем в виде
Ух = Ух екк ¦ У2 = Г2 екх ¦ Уз=Гз екх
Для нахождения ух, у2 и уъ имеем систему
' ~ку1 + у2 + у3 = 0, ух-ку2+уъ=0, (38)
Г1+у2-ку3=0 .
Приравнивая определитель системы к нулю, имеем
-к 1 1
1 -к 1 1 1 -к
Отсюда = 2 , к2 = кг = -1. При кг= 2 система (38) равносильна системе
l2/i-r2-/3=o,
1 Г1~2Г2+Гз =0 •
Общее решение этой системы имеет вид у1=у2 = у3=с1. Тогда получим
= — к + Ък + 2 = 0 .
первую систему решений, содержащую одну произвольную постоянную
Ух = с,е2х , у2 = схе2х , = с,е2х.
(39)
Для корня к = -1 кратности 2 система (38) имеет вид
Ух + У2 + Уз = 0 • (4°)
Как видно, в этом случае ранг соответствующей матрицы r = 1. Тогда
число линейно независимых решений уравнения (системы) (40) равно
п-г = 3 — 1 = 2. Корень к = -1 имеет кратность т = 2 . Тогда других решений
системы (37) не надо искать. Пусть ух = с2 и у2 = с3, тогда у3 = - с2 — с3. Тогда получим еще систему решений системы (37) с двумя произвольными
постоянными с2 и с3:
Ух с2е > У2 ^з ? , Уз (с2 +с3) ^
Сложив решения (39) и (41), находим общее решение системы (37):
(41)
yx(x) = cleZx+ с2е~х, у2(х) = с, е1х + с3 е х , у3(х) = с, е2х -(с2 + с3) е
Отсюда легко найти фундаментальную систему частных решений системы (37):
у1(х) = (е2х, е2х, е2х), у2(х) = (е~х, 0, -ех), у3(х) = (0, е"х,-ех), так как определитель Вронского
е2х е~х 0 I 1 0
