Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
х = х0 и у = у0, производная dx/dy = 0, следовательно, интегральная кривая х = ф{у) в точке (х0,у0) имеет вертикальную касательную. Для семейства интегральных кривых уравнения (1) или (2) точка (х0,у0) обыкновенная.
Второй случай: f(x,y), являясь неограниченной в окрестности точки (х0,у0), не имеет предела при (х, у) ->(х0,у0). Такова, например, функция
aX—by' где a fo' с j _ постоянные, в окрестности точки (0,0). cx + dy
Действительно, если точка (х,у) принадлежит прямой cx + dy = 0, функция не определена, а вблизи этой прямой она бесконечно большая; на прямой ax + by = 0 она равна нулю, т.е. по разным прямым у = кх она при (х,у) -»(0,0) имеет разные пределы. В этом случае точка (0,0) является особой.
Если точка (х0,у0) не является обыкновенной, то она называется особой. Примером особых точек могут служить точки неединственности решения, точки разрыва функции /(х,у) и граничные точки области D.
Особой точкой уравнения
dx
Q(x,y)
dy D, 4 dx — = P{x,y), — dt dt
Q(x,y), (4)
где функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в D, называется точка (х0,у0) е D, в которой P(x0,y0) = 0, Q(x0,y0) = 0.
Часто бывает важно построить схему поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений во всей области задания D функции f(x,y) в целом, не заботясь при этом о сохранении масштаба. Если все точки односвязной области D обыкновенные, то семейство интегральных кривых можно схематически изобразить семейством параллельных кривых, так как в этом случае через каждую точку области D проходит одна интегральная кривая и никакие две интегральные кривые не могут пересекаться. Если в области D уравнение (3) имеет изолированные особые точки или линии, то структура интегральных кривых становится более сложной. Одной из фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача - найти наиболее простой способ построения схемы поведения интегральных кривых заданного дифференциального уравнения. Для этого важно классифицировать особые точки дифференциального уравнения в зависимости от поведения интегральных кривых в окрестности этих точек.
Для простоты исследования рассмотрим сначала систему с постоянными коэффициентами
dy , dx
— = ах + by, — = cx + dy dt dt
или уравнение
<fy
dx
ax + by cx + dy
dx
dy
cx + dy ax + by
(5)
(6)
и изучим поведение интегральных кривых в окрестности точки (0,0) покоя в
зависимости от собственных значений матрицы
а
d
Ъ
т.е. корней
= 0.
характеристического уравнения
с — Л d а Ь — Л
Предположим в дальнейшем, что ad-ЬсФ 0, так как в противном случае правая часть уравнения (6) равна постоянной, поэтому семейство интегральных кривых есть пучок параллельных прямых. Уравнение (6), как нетрудно видеть, есть однородное уравнение и может быть проинтегрировано способом, указанным в § 2 (п. 3). Но здесь применим другой способ, а именно, вводя новые переменные ? и 77, уравнение (6) приведем к виду, более удобному для непосредственного исследования. При помощи линейного
неособого преобразования
? = ax + /3y,Tj = yx + Sy (7)
в зависимости от корней определителя
с /L d
= /I2 — (Ь + с)Л + be -ad = 0 (8)
а Ь-Л
уравнение (6) приводится к одному из следующих трех типов:
(кФ 0), (9)
4? ?
dr/ _ <^ + кг/ d? k^-rj dij _^ + tj
(10)
(11)
d{ ^
Действительно, пусть корни характеристического уравнения (8) действительные и различные: А, Ф Л^. Из (7) и (6) имеем
di) _ ydx + Sdy _ y(cx + dy) + 8(ax + by) ^
di; adx + pdy a(c x + d y) +fi(ax + b у)
Теперь потребуем,чтобы
у (с x + d у) + 8 (а х + b у) = Л-q = Л (у х + 8 у), (13)
а(сх + d у)+ fi(ax +by) = /л^ - /л(ах + ру) . (14)
Приравнивая в тождестве (13) коэффициенты при х и у, получаем два уравнения относительно у и 8 :
у(с-Л) + 8а = 0, уd + 8(Ь-Л) - 0. (15)
Система (15) однородная и она будет иметь ненулевое решение только тогда, когда определитель (8) равен нулю, т.е. когда Л является корнем характеристического уравнения (8).
Аналогично из тождества (14) получаем два уравнения относительно а
и )3:
а(с-ц) + ра = 0, ad + p(b-/л) = 0. (16)
Система (16) однородная, чтобы она имела ненулевое решение мы должны потребовать равенство нулю определителя этой системы
/j2-(b + c)/j + bc-ad = 0 . (17)
Как видим, числа 1 и // должны быть корнями одного и того же уравнения (8) или (17). Поскольку по допущению уравнение (8) имеет два различных действительных корня Л, и Л^, то подставляя Л, в систему (15), а другой
