Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. В силу теоремы Пикара решение ХО уравнения
у' -g{t,y), удовлетворяющее начальному условию y(t0) = y0, определяется
однозначно на некотором сегменте /, =[а1,Д]с/, ax <t0 < Д . Для решений
cp{t) и ХО на отрезке /,, пока интегральная кривая ХО проходит через Р, имеем
I *'(0 - /(01 = I fit, х) - g(t, у) | <
^\f(t>x)-f(t,y)\ + \f(t,y)-g(t,y)\<K\x-y\ + S, (2) где ЛГ>0 - постоянная Липшица. Пусть z(t) = (p{t) - y(t). Тогда в силу (2) \z'(t) <K\z(t)\ + 8 и |z(f0)| = \(p(t0)-y(t0)\ = \x0-y0 | < 8. В силу леммы о дифференциальном неравенстве (см. § 3)
1 <р{0 ~ У{01 = I z(t) | < 8 ек‘т + 3(<е ^ , (3)
А
tm =max{j3-t0,t0-a}.
Возьмем любое f>0, sx=mm.{e,d} и такое 8> 0, чтобы правая часть неравенства (3) была меньше ех. Тогда решение y(t) с начальным условием y(t0) = yQ, где | j/0-х01 < <5, проходит внутри полосы Р\ = {(^У) & D \ a <t < J3, | y-(p{t) | < ?,} с Р. По лемме 3 § 3 решение ХО может быть продолжено до выхода на границу полосы Рх. Если бы оно вышло на верхнее или нижнее основание (по отношению оси Оу), то в точке выхода было бы | y(t) - (p{t) !=?¦,, что противоречит тому, что правая часть (3) строго меньше s,. Следовательно, решение ХО ПРИ продолжении проходит через боковые стороны полосы Рх, т.е. через концы t - ах и t = Д. Поэтому при всех t е[а, Д] решение ХО удовлетворяет неравенству (3), где правая часть меньше е, < е . Теорема доказана.
Следствие 1. Если функция f(t,x) удовлетворяет условиям теоремы 1 в окрестности Р интегральной кривой x = <p(t) и yt (t) - решения того же уравнения x' = f(t,x) с начальными условиями У/0о) = У10. yl0(t0) х0 =<p(t0), то y.(t) сходится равномерно на [а, Д] к функции (pit).
На практике часто правая часть уравнения и начальные условия зависят от параметра /и (или параметров jux, ju2, ..., jun). Поэтому рассмотрим задачу
Коши с параметром jueM (М - сегмент числовой оси)
= У(*о) = Уо- (4)
Не теряя общности, можно считать, что параметр // входит лишь в правую
часть уравнения, так как в случае, когда t0=t0(/j) и у0 - у0(/л), заменой z(0 = ХО - у0(М) - s = t~{o(М) задача (4) сводится к задаче:
z' = f(s + t0(ju),z + у0 (//), ju) = F(s,z,ju), z( 0) = 0,
где параметр входит лишь в правую часть.
Решение задачи (4), естественно, будет зависеть от параметра //. Пусть
G = DxM = {(t,y,/u) \ (t,y) е D, ju е М}. Если функция f(t,y,ju)
непрерывна в G по совокупности переменных и там по у удовлетворяет
условию Липшица:
\f(t,yi,ju)-f(t,y2,ju)\<K\yl-y2\, где К не зависит от переменных t,y,ju, то в силу теоремы Пикара при каждом фиксированном jueM существует единственное решение (p(t,ju) задачи (4). Оказывается, это решение непрерывно зависит от /и и t, более того, оно непрерывно по совокупности переменных t и [л .
Теорема 2 (непрерывная зависимость решения от параметра). Пусть (p(t,ju0) при [Л = /л0 еМ есть решение задачи (4):
y' = f(Uy,M о), Ж) = У0>
определенное на максимально широком сегменте [«,/?], a<t0< /3. Пусть f(t,y,ju) непрерывна по совокупности переменных и по у удовлетворяет условию Липшица в замкнутой области
F = {{t,y,ju) | a<t</3, \ y-(p(t,ju0)\<d, jueM}czG.
Тогда существует число сг > 0, такое, что функция (p(t, /и) непрерывна по совокупности переменных при t е [а, /?] и ц е (jU0 - сг, //0 + а).
Доказательство. При каждом фиксированном [Л = решение задачи (4)
удовлетворяет условиям теоремы 1. Поэтому для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что когда
\f(t,y,/i)-f(t,y,/i0)\<S, (5)
решение задачи (4) при te[a,(3\ существует и при всех /е[а,/?]
удовлетворяет неравенству
\(p(t,jU)~(p(t,jU0)\<?. (6)
В силу равномерной непрерывности функции f(t,y,/j) в F по числу <5 > 0 найдется сг>0, такое, что для любых точек (t,y,ju) и (t,y,ju0) из F, удовлетворяющих условию \/л- /л0\ <а, выполнено неравенство (5). Тогда снова применяя теорему 1, получим, что решение (p(t,ju) существует на [а,(3\
18 — 5026 273
и при всех t е [«,/?] и /л е (//0 - сг,/л0 + сг) удовлетворяет неравенству (6). А это означает, что решение (pit,/и) непрерывно по /л при ju = ju0 при любом 1е\а,р~\. Функция f(t,y,ju) непрерывна в F, значит, ограничена: | f(t,y,/u) | < L. Отсюда следует, что
I I = I f(t,(p(t,/i),/i) I ^ 1
и при любых t,tx е \рс,Р\ таких, что 11 -tx \ < ejL , имеем
\(p(t,/u)-(p(tx,/i)\ = \<p't(t + e(tl-t),/u) | \t-tx | < M \ t-tx | <s. (7)
Пусть (f,,//,) - произвольная точка множества a<t< p, \/u-/i01 <сг. С учетом (6) и (7) оценим разность
\(p(t,/l)-<p(ti,jUi)\<\<p(t,jU)-<p(ti,jU)\ + \(p(ti,jU)-(p(ti,jUi)\ <2 ?.
Следовательно, функция (pit,/л) непрерывна в точке
