Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
2.5. Максимумы и минимумы непрерывных функций одной независимой переменной
Пусть функция / непрерывна. Говорят, что в некоторой точке xq из своей области задания функция / имеет относительный максимум, если можно указать открытый промежуток /, содержащий х0, такой, что f(x0) служит точной верхней гранью множества /(/). Аналогично f имеет в точке у0, принадлежащей ее области задания, относительный минимум если найдется такой открытый промежуток /, содержащий у0, что f(t/o) является точной нижней гранью для f(/) 2. График, изображенный на фиг. 1, наглядно поясняет эти определения.
- Обратим внимание на то, что, если, скажем, интервал / взять столь большим, что в него попадет точка х0', то f(x0) перестанет быть точной верхней гранью /(/); этим и объясняется применение термина «относительный» в приведенных выше определениях. Непрерывная функция может, таким образом, иметь несколько относительных максимумов и относительных минимумов. Совершенно очевидно также, что, если для f(x0) выполняется условие существования экстремума по отношению к некоторому открытому промежутку /, то это значение функции сохраняет роль экстремума и в том случае, если взять любой меньший открытый промежуток Г, содержащийся в /, такой, что х0 в
Теперь можно отметить две разные математические проблемы, относящиеся к задаче определения максимумов и минимумов. Первый и наиболее важный вопрос заключается в следующем: при каких условиях можно гарантировать
1 Относительные максимумы и минимумы объединяются общим названием «экстремумы». — Прим. перев
2 Подразумевается, что интервалы / и /, о которых здесь говорится, целиком принадлежат области задании функции f. — Прим. перев.
существование максимумов и минимумов? И второй вопрос: если известно, что экстремумы существуют, то как их найти? Ниже для ряда важных случаев даются ответы на эти вопросы.
Сначала о существовании экстремумов. Последняя теорема предыдущего раздела говорит, что непрерывный образ замкнутого и ограниченного множества тоже замкнут и ограничен. Далее, ограниченное множество имеет и точную верхнюю и точную нижнюю грани. Кроме того, замкнутое множество всегда
Фиг. 1.
содержит свои точную верхнюю и точную нижнюю грани. Непрерывный образ такого множества точно так же содержит свои точные грани. Сказанное весьма близко к утверждению, что непрерывная функция, заданная на компактном множестве, всегда имеет максимум и минимум. Это и на самом деле так, если только специально оговорить, что как максимальное, так и минимальное значения достигаются не на границе области задания функции /. Так, если, например, область задания f есть сегмент 1 = [а, Ь], то ни f(a), ни f(b) не должны совпадать с точными верхней и нижней гранями множества /(/).
Необходимость такой оговорки заключается в том, что максимумы и минимумы определялись выше в терминах, относящихся к открытым промежуткам. В тех случаях, ко?да точные грани достигаются функцией f внутри области ее задания, никакой разницы для открытых и замкнутых промежутков не возникает. Но, если точная верхняя или нижняя грани f дости-
гаюхся на одном из концов I, данные выше определения максимума или минимума уже не соответствуют такой ситуации; значение функции на указанном конце промежутка / нельзя при этом считать максимумом или минимумом в смысле приведенного ранее определенияФиг. 2 наглядно иллюстрирует сказанное.
Упражнение
Рассмотрим заданную на сегменте [А, В] функцию у — ах + Ь (где а>0), график которой представляет собой отрезок прямой линии. Имеет ли она на этом сегменте максимум или минимум? (Этот пример служит прототипом задач линейного программирования; см. разд. 12.2.)
Теперь, когда вопрос о существовании максимумов и минимумов непрерывной функции в известной мере выяснен, обра-
тимся к задаче их нахождения. Путь для определения максимумов и минимумов указывается следующей хорошо известной теоремой.
Теорема 2.5
Если функция f имеет в точке х0 относительный максимум или минимум и первая производная f'(x0) в этой точке существует, то f'(xо) =0.
Доказательство
Возьмем тот случай, когда в точке х0 имеется относительный максимум f. Пусть / — некоторый открытый промежуток, такой, что f(xо) служит точной верхней гранью /(/). Пусть г/?/, и допустим вначале, что у<^х0. Тогда разность у—х0 отрицательна. По предположению выражение f(y)—f(x0) тоже
1 В подобных случэях применяются термины «краевой максимум» или «краевой минимум» («краевые экстремумы»), — Прим перев
отрицательно (или, во всяком случае, не положительно). Тогда разностное отношение
/(>>) — /(-*о)
У х0
неотрицательно (надо отметить, что это выражение непрерывно по у во всех точках, где оно определено). С другой стороны, если г/6/ и у>х0, то аналогичные рассуждения показывают, что это отношение неположительно. Следовательно, это отношение принимает неположительные значения для всех у, лежащих справа от х0, и неотрицательные значения для всех у, расположенных слева от Хо. Так как по предположению производная в точке Хо Существует, отсюда следует, что f'(x0) =0.
