Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматриваемое в этом примере множество обладает, разумеется, точной верхней гранью в множестве вещественных чисел — ею служит число У~2. Оказывается, системе всех вещественных чисел вообще свойственна характерная черта, что всякое множество вещественных чисел, ограниченное сверху, обладает точной верхней гранью, и всякое множество вещественных чисел, ограниченное снизу, обладает точной нижней гранью '.
Это свойство множества всех вещественных чисел, о котором мы только что говорили, называется полнотощ имея в виду свойство полноты, можно сказать, что в множестве всех вещественных чисел нет «пропусков», или «дырок». Полнота тесно связана с топологией множества всех вещественных чисел и его подмножеств и, следовательно, с понятием непрерывности функций вещественных переменных. Нам будет полезно поэтому более подробно ознакомиться с этими важными представлениями.
2.3. Замкнутые и открытые множества
Обозначим через S некоторое множество вещественных чисел, не обязательно ограниченное. Говорят, что S — замкнутое множество (или, просто, что S замкнуто), если точные верхняя
1 Множество всех вещественных чисел с определенными в нем алгебраическими операциями образует так называемое поле. Отношение порядка вещественных чисел удовлетворяет аксиоме Архимеда, а именно для любого вещественного числа я>0 существует столь большое целое положительное число
N>0, что -jy-<a. В связи с обсуждаемым здесь свойством полноты отметим,
что вещественные числа образуют единственное, с точностью до изоморфизма, полное архимедовски упорядоченное поле, т. е. всякое архимедовски упорядоченное поле изоморфно некоторому подполю поля вещественных чисел. По этому поводу см., например, [17].
и нижняя грани всякого ограниченного подмножества S' множества S также принадлежат S. Говорят, что множество 5 вещественных чисел является открытым множеством (или, короче, что S открыто), если его дополнение1 является замкнутым множеством.
Рассмотрим примеры. Пусть а, Ь — два различных вещественных числа. Возьмем множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь. Это множество, очевидно, ограничено, и читатель легко может убедиться в том, что оно замкнуто. Такое множество называется замкнутым промежутком или сегментом с концами а, Ь и обозначается символом [а, Щ. С другой стороны, как нетрудно показать, множество чисел х, таких, что а<х<Ь, образует открытое множество. Это множество называется открытым промежутком или интервалом и обозначается символом (а, Ь).
Далее, всюду, за исключением тех случаев, когда это будет особо оговорено, мы будем рассматривать ограниченные промежутки, т. е. такие, для которых —оо<а<6<^оо. Мы видим, что ограниченное множество можно определить как множество, целиком содержащееся в некотором открытом (ограниченном) промежутке. Существуют также и такие множества вещественных чисел, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми. Так, например, множества, определяемые соотношениями а<х^Ь или а^.х<Ь, ни открыты, ни замкнуты.
Понятие открытого множества и свойства, которыми обладают все открытые подмножества вещественных чисел, играют основную роль при изучении топологии множества вещественных чисел. Это понятие лежит в основе представления о непрерывности и образует прототип для построения других более общих топологических пространств. Открытые промежутки играют весьма важную роль ввиду простоты их строения, а также потому, что произвольное открытое множество может быть всегда построено некоторым каноническим способом из открытых промежутков. Здесь нет необходимости более глубоко затрагивать этот предмет, и мы ограничимся лишь тем, что приведем две важные теоремы. В дальнейшем мы увидим, что одно свойство открытых множеств, выражаемое этими теоремами, часто используется для эквивалентного общего определения понятия открытого множества. Доказательство этих теорем даст читателю некоторое представление о том, каким образом топологическое определение открытого множества
1 Дополнение S множества S определяется следующим образом: число том и только в том случае, когда х? S.
естественным образом вытекает из определения, первоначально основанного на представлении об отношении порядка.
Теорема 2.1
Пусть S — некоторое непустое открытое множество вещественных чисел. Тогда для любого элемента х этого множества найдется открытый промежуток /, удовлетворяющий следующим двум условиям: а) / является подмножеством S и б) х?1. Иными словами, для каждого элемента открытого множества
5 существует некоторый открытый промежуток, целиком принадлежащий этому множеству и содержащий данный элемент.
Доказательство
Обозначим дополнение S через Т. Тогда S и Т исчерпывают, согласно определению дополнения, все вещественные числа, и не существует ни одного вещественного числа, одновременно принадлежащего S и Г. Пусть теперь х (; S. Рассмотрим следующие два множества:
А: множество всех у 6 Т, таких, что у<х;
В: множество всех у 6 Т, таких, что х < у.
