Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
новорожденных гамадрилов yt и массой тела их матерей х существует
положительная связь (гху = 0,564). Уравнение регрессии, описывающее эту
связь, следующее:
#,=0,424-0,024*.
Определим ошибку коэффициента регрессии Ьух=0,024 и оценим достоверность
этого показателя. Необходимые данные содержатся в табл. 96: п = 20; 2г/=
14,06; 2л: = 237,4; 2г/2=9,9596 и 2*2= = 2861,60. Рассчитаем девиаты:
= 9,9596
iMi=0,0754;
Более подробно этот способ описан в книге Н. А. Плохииского
"Биометрия" (1970). Там же приведены способы выравнивания других видов
нелинейной регрессии, в частности регрессии периодического типа.
298
D^^-xf^x]
(S*/)2
2861,60- -(2^'4)2 =43,66;
n
1 -0,5642-0,0754 (20 - 2) 43,662
1 / -^^-=/0,000066=0,008. V 785,916
Критерий 7ф=0,024/0,008=3,0. Эта величина превосходит критическую точку
^< = 2,88, для &=20-2 и а= 1 %, что дает основание для непринятия нулевой
гипотезы.
Если исходные данные сгруппированы в вариационные ряды, а их частоты
распределяются по ячейкам корреляционной таблицы, ошибку коэффициентов
регрессии определяют с учетом классовых интервалов по следующим формулам:
Пример 23. Выше были найдены характеристики корреляционной зависимости
между массой тела Y и годовым удоем X коров горбатовской породы гху -
0,523; Ьух=0,0564, а также sy= = 3,272; s* = 2,843, классовые интервалы:
Яу=14 и Ху=152. Вычислим ошибку коэффициента регрессии удоя коров по
живой массе их тела:
= 3.272-14 , / 1 - (0,523)2 106.q q86==q qq91
ь"х 2,843-152 V 100-2
Критерий ?ф='--- = 6,19:>^=3,29 для &=100-2 = 98 и а = 0,0091
= 0,1%. Нулевую гипотезу отвергают на высоком уровне значимости
(Р<0,001).
Эмпирические уравнения регрессии также сопровождаются ошибками.
Последние, обозначаемые символами syx и sxy, могут быть рассчитаны по
формулам
где ух и ху - частные средние переменных У и I; п-2 - число степеней
свободы.
Значения sxy и syx также называют частными, парциальными или
остаточными средними квадратическими отклонениями. Они
(206)
sXy=sxy 1-г
(206а)
или
(207)
299
описывают величину изменчивости отдельных наблюдений по отношению к линии
регрессии, т. е. частным средним ух (или ху, составляющим эту линию.
Величина syx или sxy позволяет судит* насколько можно ошибиться, пытаясь
найти значение признак у или х как значение частной средней, полученной
по уравненик регрессии.
Пример 24. Зависимость между массой тела у и возрастом ^ детенышей
макак-резусов в первый год их жизни описываетсг уравнением линейной
регрессии ^* = 1,20 + 0,1104 (х-х). Опред& лим ошибку для этого
уравнения. Необходимые данные содег жатся в табл. 117. Расчет величины
2(г/,--ух)2 приведена табл. 134.
Таблица 13-
Возраст Масса тела д гтенышей, кг (У 1-Ух) (У---Ух)1
детенышей х, фактическая у вычисленная ух
нес
1 0,53 0,59 0,06 0,0036
2 0,71 0,70 0,01 0,0001
3 0,79 0,81 0,02 0,0004
4 0,98 0,92 0.06 0,0036
5 1,06 1,03 0,03 0,0009
6 1,13 1,14 0,01 0,0001
7 1,25 1,26 0,01 0,0001
8 1,43 1,37 0,06 0,0036
9 1,51 1,48 0,03 0,0009
10 1,59 1,59 0,00 0,0000
11 1,65 1,70 0,05 0,0025
12 1,77 1,81 0,04 0,0016
Подставляя известные величины в формулу (207), находим
&ух
Если исходные данные сгруппированы в виде корреляционно! таблицы,
ошибку уравнения регрессии вычисляют с учетом час тот ряда распределения,
т. е. вместо 2 (я/-ху)2 нужно братг 2fy(Xi-xy)2, а вместо I>{yi-yx)2
следует находить 1>[х(у-ух)-Случайная вариация отдельных частных средних
ух, прина^ лежащих линии регрессии, зависит от величины остаточной в&
риации признака У, т. е. от syx, объема выборки п, по которо? оценивали
регрессионную связь, и от того, насколько далеко о~ средней х отстоит
значение х, для которого по уравнению perpei. сии ух = а + Ьх была
найдена величина ух. Квадратическая ошио ка частной средней может быть
получена по формуле
S- =S"r|/ -+-~~ - ,
300
а доверительный интервал может быть задан выражением
Ух ± tsL -
УХ
где t зависит от числа степеней свободы k = n-2 и от принятого уровня
значимости а.
Иногда практический интерес может представлять построение
доверительного интервала для отдельных наблюдений, например если
