Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
32 3 6,4 9 0,80618 2,41854 5,7
38 4 6,1 16 0,78533 3,14132 6,6
42 5 7,5 25 0,87506 4,37530 7,6
48 6 8,0 36 0,90399 5,42394 8,7
52 7 И 49 1,04139 7,28973 10,2
Сумма 28 48,1 140 5,72792 2461801 48,1
Из системы уравнений и приведенных формул следует, чт< для отыскания
параметров а и b нужно предварительно найтг Их, 2*2, Elgу и E(*lgi/).
Пример 18. Наблюдения за развитием самцов павианов-.га мадрилов в
период полового созревания показали, что масса и: тела изменяется с
возрастом следующим образом:
Возраст X, мес.............. 20 26 32 38 42 48 52
Масса тела У, кг............ 4,6 4,5 6,4 6,1 7,5 8,0 11,0
290
Графический анализ этих данных показывает, что оии изме-(яются по
закону экспоненциальной функции. Об этом свидетель-¦твует тот факт, что
значения независимой переменной X и лога-тифмированные значения зависимой
переменной Y располагаются в системе прямоугольных координат на одной
прямой. Найдем •мпирическое уравнение, описывающее эту закономерность.
1редварительно рассчитаем вспомогательные величины табл. 129).
'ис. 36. Эмпирическая и вычисленная по уравнению показательной
эункции линии регрессии возрастных изменений массы тела самцов гамадрилов
в период полового созревания
"Тодставляя известные величины в формулы, находим lgfl- 5-72792'140 -
24'6180Ь28 42.60452 _Q 5745j.
lg b:
7-140 -28-28 196
7-24,61801-28-5,72792 11,94431
7-140 -28-28
196
=0,060940.
отсюда эмпирическое уравнение регрессии Y по X: lg #*=0,061л:-|-0,575.
Подставляя в это уравнение вместо х значения независимой [временной,
выраженные числами натурального ряда, находим 8г,уХ) а затем по таблице
логарифмов определяем значения ух. Рассчитанные таким образом значения ух
приведены в последам столбце табл. 129. Они неплох'о согласуются с
помещенными ) той же таблице эмпирическими членами ряда. Более наглядное
федставление об этом дает рис. 36, иа котором изображены эм-
о*
291
лирическая и выровненная по уравнению регрессия лннин массы тела Y по
возрасту X самцов павианов-гамадрилов.
Регрессия, выражаемая уравнением степенного типа. Зависимость между
переменными величинами Y и X иногда хорошо описывается уравнением
степенного типа
~ух=ахь, (200)
которое в результате логарифмирования превращается в уравнение прямой
линии:
lg&r=lge-f*lg*" (201)
Условием правильного применения этого уравнения служит требование, чтобы
точки lg г/ и lg* в системе прямоугольных координат находились на одной
прямой. Эта особенность отличает уравнение степенной функции от уравнения
регрессии показательного типа, когда в системе координат на одной прямой
оказываются точки lgy и х.
Для определения параметров а и b уравнения степенного типа служит
следующая система нормальных уравнений
"1ga+*2lg'V = 2lgi/; ig а 2 ^ *+b 2(lg x)2" 2(lg *lg y)'
Из решения этой системы получаются формулы
ig"=-^- [2 ^ 2(Ig ^ ~ 2(lg lg ^ 2lg -^1 и
6"'5"[л2(18['*1ву)"21в'*21ву] *
где D - nL (lg*)2- (2 lg*)2 - определитель системы; п - число членов ряда
регрессии; * н у - значения членов ряда независимой и зависимой
переменных величин. Из этих формул следует, что для нахождения параметров
а и & нужно предварительно рассчитать 2 lg у, 2 (lg у, lg*), 2 lg* и 2
(lg*)2.
Пример 19. Наблюдения за развитием самок павианов-гамадрилов показали,
что между массой их тела и длиной туловища существует положительная
связь. Соответствующие данные и их обработка приведены в табл. 130.
Если эти данные изобразить в виде графика, как показано на рис. 37,
можно убедиться в том, что между этими признаками имеет место нелинейная
связь. Прологарифмировав значения переменных * и у и выразив полученные
величины в процентах от их общей суммы для каждого ряда в отдельности,
легко построить линейный график, показывающий, что точки lg?/ и lg*
располагаются на одной прямой (рис. 38). Следовательно, зависи-
292
Таблица 130
Длина Масса lg * lg у lg jc lg У (lg *)J У*
тулови тела у,
ща ж, см кг
17 1,5 1,23045 0,17609 0,21667 1,51401 1,4
19 2,0 1,27875 0,30103 0,38494 1,63520 1,9
21 2,3 1,32222 0,36173 0,47829 1,74826 2,4
23 3,3 1,36173 0,51851 0,70607 1,85431 3,1
25 3,6 1,39794 0,55630 0,77767 1,95424 3,8
27 4,4 1,43136 0,64345 0,92101 2,04879 4,6
29 5,5 1,46240 0,74036 1,08270 2,13861 5,6
31 6,0 1,49136 0,77815 1,16050 2,22415 6,7
33 7,8 1.51851 0,89209 1,35465 2,30587 7,8
35 9,6 1,54407 0,98227 1,51669 2,38415 9Д
