Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
о
где х (t) — произвольная реализация из ансамбля. Поскольку т должно быть много меньше длительности интервала наблюдения (интервала усреднения) Т, обозначим наибольшее допустимое
значение т как хт. Таким образом, Rx (т) определяется соотношением (6.14) при jхI <; тт и принимается равной нулю при |т| > > тт. Более общий способ введения данного ограничения на длительность т заключается в умножении (6.14) на четную функцию аргумента т, равную нулю при |т| > тт. Таким образом, определим новую оценку корреляционной функции Rx (т):
г—х
wRx(t) = [w(t)/(T — т)] j х (t) х (t + т) dt = ги(т)а^(т),(7.55)
о
где w (т) = 0 при | т | > тт и является четной функцией т, a
aRx (т) теперь существует при всех т. Эту функцию w (т) часто называют окном запаздывания (в ряде источников функцию w (т) называют корреляционным окном, а ее преобразование Фурье W (ю) = &~[и> (т) ] — спектральным окном. — Перев.), так как она видоизменяет оценку функции Rx О) на величину, зависящую от запаздывания (т. е. временной задержки т), и имеет конечную длительность, равную 2тт. Введение функции w (т) и выбор ее типа чрезвычайно важны при оценивании спектральных плотностей, что очень часто недооценивается в инженерной практике при получении таких оценок. Приводимый ниже краткий анализ
не обеспечивает в полнойjwepe понимания этих аспектов, но может способствовать усвоению новых понятий и уяснению их значимости для получения оценок с хорошими свойствами.
Поскольку спектральная плотность представляет собой преобразование Фурье от корреляционной функции, оценка спектральной плотности может быть получена путем преобразования соотношения (7.55):
wSx(iо) = Т [ву(т)0/Мт)] = (1/2л) W (a)*aSx(со), (7.56)
где W (ю) — преобразование Фурье функции w (т), символ «*»
означает свертку соответствующих преобразований, aSx (to) —
спектральная плотность, связанная с aRx (т), определенной
теперь для любых т, но не являющейся оценкой Rx (т) при любых т.
Чтобы проанализировать цель введения окна запаздывания w (т), важно подчеркнуть, что всегда имеет место определенная функция в виде специального окна запаздывания, даже если не возникает задача оценки спектральной плотности. Так как соотношение (6.14) справедливо только при |т|<;тт, оно эквивалентно выражению (7.55) при использовании прямоугольного окна запаздывания вида
(1 при |т|<тт,
= ( 0 При i X | > X„J. <7'57>
Таким образом, если не дано определение окна запаздывания, всегда подразумевается использование прямоугольного окна вида (7.57). Важность использования окна этого типа обусловлена тем, что соответствующее преобразование Фурье имеет вид
[wr (т)] = Wr (ю) = 2тт (sin опт/ютт) (7.58)
и, как показано на рис. 7.9, принимает отрицательные значения в пределах половины спектра частот. Таким образом, процедура
свертки этого преобразования с функцией aSx (ы) может привести
к отрицательным значениям оцениваемой спектральной плот-
ности, даже если сама функция (ю) нигде не является отрицательной (последнее всегда выполняется). В силу того что Rx (т) может быть оценена только в ограниченном диапазоне изменения т (для |т| ^ тт), что обусловлено конечной длительностью отрезка разбиения наблюдаемой реализации (тт С Т), могут иметь место ошибочные оценки спектральной плотности независимо от того,
е какой точностью определена Rx (т) в пределах допустимых значений ее аргумента.
При использовании прямоугольного окна запаздывания оценка спектральной плотности будет иметь вид
rSx И = (1/2я) Wr (со) * aSx (со). (7.59)
Необходимо, однако, отметить, что эта функция rSx (со) определяется не путем свертки (7.59), поскольку aSx (со) не может быть оценена на основе ограниченного объема измерений, а в результате
Рис. 7.9. а — прямоугольное окно запаздывания, б — соответствующее спектральное окно.
применения преобразования Фурье к функции Rx (т), определенной соотношением (6.14), т. е.
Г5 У (со) — ,9~ (т)],
(7.60)
где
Ях(г) =
Т—т
(Т — т)"1 j х(t)х(t + т)dt, 0<т<тт,
о
0, т тт
и Rx (т) = Rx (—т) при т< 0. Таким образом, как было отмечено выше, rSx (со) представляет собой оценку, полученную без учета ограниченных пределов изменения т. Теперь возникает
задача, каким образом видоизменить функцию г5х((о), чтобы минимизировать ошибки оценивания спектральной плотности. Это приводит к необходимости выбора других типов окон запаздывания w (т).
Одной из основных проблем, возникающих при анализе спектрального окна WT (со), является существование боковых лепестков этой функции, что непосредственно влияет на оценку rSx (со). Ясно, что эти трудности могут быть преодолены выбором окна
запаздывания, преобразование Фурье которого характеризуется малым уровнем боковых лепестков. Одной из таких широко применяемых функций является окно Хэмминга, определяемое как
