Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
определяет реальную спектральную плотность, а затем попытайтесь использовать таблицу для вычисления соответствующего значения среднего квадрата случайного процесса.
7.6. Взаимосвязь между спектральной плотностью и корреляционной функцией
Как было показано в гл. 6, корреляционная функция есть математическое ожидание произведения временных функций. С другой стороны, в настоящей главе мы убедились в том, что
спектральная плотность связана с математическим ожиданием произведения преобразований Фурье от этих функций. По-видимому, должна существовать непосредственная связь между двумя указанными математическими ожиданиями. Чисто интуитивно можно допустить, что спектральная плотность является преобразованием Фурье (или Лапласа) от корреляционной функции, что в действительности окажется справедливым.
Сначала рассмотрим нестационарный случайный процесс, а затем конкретизируем полученные результаты на случай стационарного процесса. В соответствии с (7.10) спектральная плотность была определена как
где Fx (со) — преобразование Фурье усеченной (т. е. ограниченной во времени) реализации случайного процесса, а именно
так как | Fx (ш) |2 = Fx (оо) Fx (—со). Здесь вместо t введены две переменные ty и t2, чтобы не было путаницы между переменными интегрирования при представлении произведения двух интегралов в виде двойного интеграла. Таким образом, представим (7.35) в форме
Можно показать, что в данном случае справедлива процедура внесения символа математического ожидания под знак двойного интеграла, однако эти подробности здесь рассматриваться не будут.
Sx (®) = lim
E[\FX (о) I2]
2 T
T
Fx (й) = fX/(/)exp[—ja>t]dt, T <oo.
(7.34)
Подстановка (7.34) в (7.10) дает
Г Т
ST(to) = lim (1 /2Т) Е [ х
(7.35)
т
т
х XT(ti)XT(t2)dt1 = lim (1/2Т) J dt2 х
X j ехр [— /to(fa — td\E[XT(tdXT(td\dti. (7.36)
—т
MaieMdin'iecKoe ожидание произведения двух величин, входящее в подынтегральное выражение, представляет собой корреляционную функцию усеченного случайного процесса. Таким образом,
E[XT(t1)XT(t,)} = { 1 11 . (7.37)
' I. О при других |fx|, | t21. v '
Произведя подстановку t2 — /, -- т, dt2 — dx, можем записать (7.37) в виде
т—tx т
Sx (“) = lim (1/27") J dx J exp [ — /ют] Rx (tu h -j- t) dtx,
7--VCO —T—tt —T
где пределы существования tx ограничены условием (7.37). Меняя местами порядок интегрирования и внося символ операции предельного перехода под знак первого интеграла, получим ~( 7 1
5jr(to)=- J ] lim (1 /27") j Rx(k’ kJr^)dt1\ exp [— jax]dx.
-ОО (/-><*> _T )
(7.38)
Из (7.38) ясно, что спектральная плотность представляет собой преобразование Фурье усредненной по времени корреляционной функции:
SxH = $-\(Rx(t, * + т)>}, (7.39)
где & — символ процедуры преобразования Фурье. Соотношение (7.39) справедливо и для нестационарных процессов.
Для стационарного случайного процесса корреляционная
функция не зависит от выбора начального момента времени, поэтому
(Rx(t 1, ^1 + т)> ^Несоответственно спектральная плотность стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразованием Фурье корреляционной функции:
со
5х(и)= J Rx(x)exp[— /to-г]dx = &~\Rx(x)\. (7.40)
—со
Соотношение (7.40), известное под названием формулы Винера—Хинчина, имеет фундаментальное значение для анализа случайных сигналов, так как оно устанавливает связь между представлением случайного процесса во временной области (с помощью корреляционной функции) и в частотной области (с помощью спектральной плотности). Из однозначности преобразования Фурье
следует, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса представляет собой обратное преобразование Фурье от спектральной плотности. Отметим, однако, что в случае нестационарного процесса корреляционная функция не может быть восстановлена по известной спектральной плотности — при этом можно получить, как это следует из (7.39), только усредненную по времени корреляционную функцию. В последующем мы будем иметь дело только со стационарными в широком смысле случайными процессами, для которых справедливо преобразование (7.40).
Рис. 7.7. Связь между корреляционной функцией (а) и спектральной плотностью (б).
В качестве простого примера рассмотрим корреляционную функцию вида
Rx (т) = А ехр [— р | х 11, где А > 0, 0 > 0.
Здесь величина т берется по модулю в силу симметрии корреляционной функции. Эта корреляционная функция изображена на рис. 7.7, а, который иллюстрирует разрыв функцни при т = 0. Таким образом, преобразование (7.40) должно быть представлено в виде суммы двух интегралов: одного — для отрицательных т, второго — для положительных х: о
