Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
При стационарных условиях мы можем рассчитать примерную скорость роста толщины диффузионного пограничного слоя с расстоянием таким же образом, как в гл. 5 мы рассчитывали уве-личение толщины вязкого пограничного слоя. Рассмотрим небольшой кубический элемент жидкости внутри пограничного слоя (рис. 9.8) и примем, что каждая грань кубика имеет единичную площадь. Тогда диффузионный поток в кубик снизу, через грань 1, будет определяться уравнением (9.1), в которое надо подставить значение градиента концентрации йс^/Ау на этой грани. Диффузионный поток из кубика через верхнюю грань 2 также определяется уравнением (9.1), но уже с градиентом концентрации на верхней грани. Таким образом, суммарный диффузионный приток
!) На практике локальная толщина бд диффузионного пограничного слоя определяется как расстояние от стенки, на котором местная концентрация рассматриваемого вещества отличается от концентрации в ядре потока жидкости не Оолес чем иэ 1% от общей разности концентраций.
внутрь элемента имеет вид:
Суммарный поток = Коэффициент диффузии X
X Скорость изменения градиента концентрации с ростом у
Это соотношение полностью аналогично полученному в гл. 5 выражению для суммарной действующей на элемент силы, обусловленной вязкими напряжениями.
Рис. 9.8. Кубический элемент жидкости внутри диффузионного пограничного слоя.
Такой диффузионный поток внутрь элемента уравновешивается конвективным переносом вещества вниз по течению. Конвективный поток внутрь элемента через грань 3 равен произведению концентрации на этой поверхности на скорость втекающей в элемент жидкости. Таким же образом можно определить конвективный поток наружу через грань 4.
Следовательно, суммарный конвективный поток из элемента задается выражением
Поток = Скорость изменения величины (скорость X
или
(9.16)
Стенка
X концентрация) с ростом х,
или
Если скорость массопереноса мала, а диффузия молекул внутрь элемента не приводит к большим изменениям его объема, скорость и не будет зависеть от х и
Так как система стационарна, потоки, определяемые уравнениями
(9.16) и (9.17), должны быть равны. Таким образом,
Как и при расчете скорости, с которой увеличивается толщина вязкого пограничного слоя, скорость роста диффузионного пограничного слоя проще всего оценить, приписав каждому параметру в этом уравнении разумные масштабы (порядки величины). Пусть толщина диффузионного пограничного слоя на расстоянии х от начала растворимой части трубки равна бд. Перпендикулярно этому пограничному слою концентрация вещества А в жидкости падает от с\ (у стенки) до сА = О (на расстоянии бд от стенки), и, следовательно, мы можем принять за масштаб (1сд величину Асд, равную (сА — 0). Порядок величины скорости внутри диффузионного пограничного слоя зависит от того, какова толщина вязкого пограничного слоя 6 по сравнению с 6Д. Если вязкий пограничный слой гораздо тоньше, чем диффузионный, то достаточно хорошим масштабом скорости может служить величина U0, т. е. скорость в ядре потока жидкости. Если же диффузионный пограничный слой гораздо тоньше вязкого, то можно считать градиент скорости в диффузионном слое постоянным, и тогда разумным масштабом скорости будет величина U0(бд/б).
Подставив полученные масштабы величин для случая, когда вязкий пограничный слой гораздо тоньше диффузионного, в уравнение (9.18), мы придем к соотношению
Здесь k — константа, значение которой необходимо рассчитывать отдельно для каждого случая. Таким образом, толщина слоя растет с расстоянием от входа в трубку как х1/2. Сравнение (9.19) с (5.3) показывает, что они весьма сходны. В частности, можно видеть, что
или
(9.18)
Д
откуда
(9.19)
(6/бд)2 = v/D.
(9.20)
Проделав то же самое для случая, когда толщина вязкого пограничного слоя больше диффузионного, приходим к соотношению
6„ Ас ^ Ас
Отсюда
Около входа в трубку, где величина б задается уравнением (5.3),
(б/бn? = v/D. (9.21)
С другой стороны, для части трубки, достаточно удаленной от начала, где профиль скорости развитый и 6 постоянно,
бд сх х113-
Толщина диффузионного пограничного слоя в этом случае растет с расстоянием вдоль растворимой части трубки как х1/3.
Число Шмидта. Отношение v/D, как и число Рейнольдса, является безразмерной величиной; оно называется числом Шмидта (Sc). Для газов числа Шмидта близки к единице, но в жидкостях гораздо больше. Так, при комнатной температуре для кислорода в воде число Шмидта равно примерно 600, для мочевины в воде — 950, а для лактозы в воде — 2400. В биологических системах для мелких молекул и ионов (например, для ацетат-ионов) число Шмидта составляет 103, при увеличении размеров молекул оно также растет и для крупных белковых молекул в воде или плазме достигает 10®.
