Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
‘) Скорость распространения волн с по поверхности глубокого бесконечного океана в случае, когда поверхностное натяжение несущественно, может зависеть только от ускорения силы тяжести g, плотности воды р и длины волны Я. Из анализа размерностей следует, что с должно быть пропорционально -y/g^-Аналогично, если преобладает поверхностное натяжение, а сила тяжести не-
Распространение звуковых волн в жидкости определяется плотностью среды и ее объемной упругостью, которая вынуждает среду возвращаться в исходное состояние после любого локального сжатия. Волны давления распространяются и вдоль упругих стенок артерий, при этом возвращающая сила обусловлена упругостью стенок, а инерция — содержащейся в сосуде кровью (и в какой-то степени самой стенкой); в гл. 12 мы покажем, как в терминах распространения волн может быть описана в основных чертах механика течения крови в артериях.
8.3. Затухание
Все обсуждавшиеся вьцле колебательные движения обусловлены равновесием между инерцией и возвращающей силой; при этом никакие другие силы, действующие на частицу, мы не рассматривали. В таких условиях колебание маятника будет продолжаться как угодно долго, а бегущая волна будет распространяться бесконечно далеко без уменьшения амплитуды. Однако все реальные колебания затухают, если для их поддержания не прикладываются дополнительные внешние силы; это связано с тем, что в системе всегда присутствуют силы другого рода, называемые демпфирующими. Все демпфирующие силы обусловлены наличием трения или вязкости в той или иной форме. Колебания маятника затухают из-за сопротивления воздуха и трения в подвесе; волны на воде и звуковые волны затухают из-за наличия вязких напряжений; колебание струны затухает вследствие сопротивления воздуха (вязкие напряжения в окружающем воздухе), а также слабо выраженных вязкоупругих свойств материала струны. Вечное движение в этом случае невозможно.
Одним из подходов к рассмотрению явления затухания является энергетический подход. Стоячая волна, как и любое другое колебание, при котором частица совершает простое гармоническое движение без затухания, несет постоянное количество механической энергии; это следует из принципа сохранения энергии [уравнение (2.10)]. Можно доказать, что сумма кинетической и потенциальной энергий маятника (рис. 8.2), движение которого
существенна, с может зависеть только от р, X и о (о — коэффициент поверхностного натяжения на границе воздух — вода, имеющий размерность [МТ~2]). В этом случае анализ размерностей показывает, что с должно быть пропорционально V°/P^- Когда обе эти оценки скорости волны дают близкие значения, существенны и сила тяжести, и поверхностное натяжение. Это имеет место в том случае, если длина волны примерно равна величине Ас, где Хс = л/a/pg. Для границы раздела воздух — вода значение а равно примерно 0,07 кг¦ с-2, лоэтому Хс составляет 0,002—0,003 м (2—3 мм) Если длина волны намного больше, чем Хс, поверхностное натяжение несущественно, что, как правило, и рм^ет место для волн на поверхности моря.
описывается выражениями (8.5) и (8.6), является величиной стоянной и равна
? = i-G2jp_. (812)
Демпфирующие силы, коль скоро они имеются, всегда направлены так, чтобы противодействовать движению, и совершаемая ими работа оказывается отрицательной, т. е. вследствие трения механическая энергия отбирается из системы. Эта энергия превращается в тепло, и хотя в принципе можно снова превратить это тепло в механическую работу, мы никогда не получим при этом столько же механической энергии, сколько перешло в тепло (это, грубо говоря, есть второй закон термодинамики). Если затухание происходит чрезвычайно медленно, так что практически система в каждый момент совершает простое гармоническое колебание, то общее количество энергии в данный момент по-прежнему будет определяться выражением (8.12), но амплитуда а этих колебаний будет со временем постепенно уменьшаться, пока не станет совсем ничтожной.
Если колебания настолько малы, что возвращающая сила пропорциональна смещению (именно такая ситуация и рассматривалась нами ранее), то обычно столь же хорошим приближением оказывается представление демпфирующей силы как силы, пропорциональной быстроте смещения, т. е. скорости. Когда частица совершает простое гармоническое движение (как, например, в простом маятнике), к правой части уравнения (8.1) необходимо добавить член, соответствующий дополнительной силе и имеющий вид — Cdy/dt, где С — константа. Эта запись означает, что сила пропорциональна скорости йу/dt и противоположна ей по направлению. Теперь уравнение движения частицы содержит три члена, а не два, как уравнение (8.1): произведение массы на ускорение равно сумме возвращающей и демпфирующей сил. Оно имеет вид
и может быть переписано в следующей форме:
-g- + 2p4f + сЛ/=0, (8.13)
где
2р = С/m, со2 = К/т.
В отсутствие затухания (8.13) совпадает с уравнением (8.2). - Здесь мы рассмотрим не наиболее общий случай движения, удовлетворяющего уравнению (8.13), а вернемся еще раз к частному случаю, когда частица начинает двигаться из точки равно*
