Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Не составляет особого труда найти решение, аналогичное уравнениям (8.5) и (8.6), для случая, когда маятник начинает двигаться из положения равновесия с начальной скоростью V. В данной ситуации в момент / = О у — 0, — Подставив первое
из этих условий в уравнение (8.3), получим А — 0; подстановка второго условия в уравнение (8.4) дает соотношение соВ — V, Следовательно, движение частицы описывается выражением
у=~ sin со/, (8.7)
•) Это следует из тригонометрического определения синуса и косинуса. Рассмотрим изменение величин sin 0 и cos 0 с увеличением 0 от нуля. Обратимся для этого к рис. 8 4, где изображена окружность единичного радиуса с центром в точке С — начале координат Угол 0 представлен точкой А: он равен углу, образованному прямой СА с осью х. Координаты точки А суть (х,у). Тогда sin 0 определяется из прямоугольного треугольника ABC как отношение длины противолежащей стороны А'В к длине гипотенузы СА, т. е. sin Q = у/1 = у. Аналогично cos 0 есть отношение длины прилежащей стороны треугольника к длине гипотенузы: cos 0 = х/1 = х. При увеличении 0 sin 6 и cos 0 изменяются, оставаясь положительными до тех пор, пока 0 не станет равным я/2 (90°); здесь точка А переходит во второй квадрант и х становится отрицательным, а у остается положительным. Таким образом, при значениях 0 от я/2 до я (180°) cos 0 отрицателен, a sin 0 положителен. В третьем квадранте [от я до Зя/2 (270°)] как х, так и у отрицательны, р поэтому отрицательны и cos0 и sin 6. В четвертом квадранте [от Зя/2 до 2я (360°)] х снова положителен, и поэтому cos 0 также положителен, a sin 0 отрицателен. Когда 0 становится больше 2я, точка А снова попадает в первый квадрант, и все повторяется сначала: cos в и sin 0 положительны. Видно, что, увеличивая значение 0 на 2я, мы проходим полный круг и снова попадаем туда, откуда начинали движение; следовательно, эта операция ие изменяет значений cos 0 и sin 0. «Период» sin 6 И cos 0 равен 2я. Отсюда ясно, почему расстояние между последовательными максимумами на графике функции a cos tot (рис 8 3) равно Т — 2я/ю,
а ее скорость равна
-^jj- = V cos со/. (8.8)
Амплитуда колебаний положения равна У/со, а амплитуда ско’ роста—V. Угловая частота, как и прежде, равна со. Графическое представление соотношений (8.7), (8.8) можно получить из графиков, изображенных на рис. 8.3, сместив точку начала отсчета времени на четверть периода назад (см. штриховую линию на этом рисунке) и заменив везде а на У/со.
Ряс. 8.5. Графики функций (8.9) (сплошная линия) и (8 9а) (штриховая линия). Сплошная кривая целиком сдвинута вправо относительно штриховой на величину, соответствующую времени ф/ю; ф — фазовый угол, на который колебание, заданное соотношением (8.9), опережает колебание, заданное соотношением
(8.9а).
Любое движение, удовлетворяющее уравнению (8.2) [частные случаи такого рода движения описываются уравнениями (8.5) и (8.7)], называется простым гармоническим колебанием. Выражение (8.3) представляет наиболее общий случай простого гармонического колебания с данной угловой частотой со; это выражение может быть преобразовано к виду
у = A' cos (со/ — ф), (8.9)
где А' = д/A2-f- В2, а ф — угол, такой, что 1?ф = В/А. Амплитуда Колебания равна А'; величина <р называется его фазой. Говорят, что такое колебание отстает по фазе на угол ф от колебания, описываемого выражением (8.5). Графическое представление зависимости (8.9) дано на рис. 8.5; здесь же приведен график функции
у — A' cos cat. (8.9а)
Видно, что график (8.9а) целиком сдвинут вправо, как если бы величина tot везде была уменьшена на ф. При колебаниях, описываемых соотношением (8.9а), все события происходят раньше, чем в случае (8.9), на время ф/со —в этом и заключается смысл
выражения «отставание по фазе». Если величина ф оказывается отрицательной, то говорят, что наблюдается опережение по фазе. Величина —sin соt в выражении (8.6) может быть записана в виде cos(co?-f- я/2), т. е. при таком колебании скорость опережает смещение по фазе на л/2. Из рис. 8.3 видно, что скорость достигает данной точки (например, минимума) на время Т/4 раньше, чем смещение, т. е. с опережением по величине <s>t на л/2.
С помощью рис. 8.3 мы можем описать все основные черты простого гармонического колебания: когда смещение у максимально, скорость dy/dt равна нулю; возвращающая сила в этот момент максимальна, а поэтому максимально и направленное назад, к точке равновесия Р (рис. 8.2), ускорение. По мере возвра-щения частицы к точке Р смещение у уменьшается, а скорость возрастает; когда частица проходит через точку Р, смещение и ускорение равны нулю, тогда как скорость максимальна После прохождения точки Р скорость опять уменьшается, а смещение и ускорение растут до своих максимальных значений. В отсутствие трения этот процесс повторяется бесконечно долго.
