Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Описанное выше простое гармоническое колебание является движением с одной степенью свободы, оно полностью задано, если указан характер изменения во времени одной переменной (координаты частицы у). Система из двух подвешенных одна над дру-гой на нити частиц, которые могут колебаться в одном и том же направлении (двойной маятник), или система из одной частицы, которая может колебаться в плоскости (примером такой системы служит маятник с упругой нитью), имеют две степени свободы, так как для описания такого движения требуются две координаты. Системы частиц более общего вида имеют большее, но конечное число степеней свободы. С другой стороны, для полного описания движения любой непрерывной системы, такой, как скрипичная струна, вода в сосуде или стенки артерии, необходимо указать координаты бесконечно большого числа элементов (например, элементарных объемов жидкости), поэтому подобная система имеет бесконечное число степеней свободы. Ситуация, однако, не настолько сложна, как можно подумать, поскольку бее эти элементы связаны друг с другом, — на самом деле описать волновые движения в непрерывных системах не составляет особого труда.
8.2. Простые примеры волнового движения
В качестве простейшего примера рассмотрим колебания натянутой упругой струны, закрепленной на обоих концах. Предположим, что в некоторый начальный момент струна испытала щипок, удар или была немного смещена вбок каким-то другим способом, а затем отпущена (рис. 8.6,Л). Как и раньше, будем пренебрегать всеми видами трения и примем, что никакой диссипации энергии
не происходит. Натяжение струны обусловливает возникновение возвращающей силы, которая стремится вернуть каждый смещенный элемент в положение равновения (ясно, например, что на элемент АВ действует результирующая сила, направленная вниз) Каждый элемент имеет массу, т. е. обладает инерцией, и поэтому он не останавливается в положении равновесия, а проскакивает его. Возникающая при этом возвращающая сила замедляет движение до полной остановки, и далее процесс повторяется — происходит простое гармоническое колебание Вид струны в
Рис 86 Если закрепленную на концах натянутую струну отклонить в сторону И) и отпустить, то она начнет колебаться, последовательно занимая ряд положе ний, два из которых показаны на рисунках ? и В Такое движение называется стоячей волной Изображенное колебание является основным и происходит с угловой частотой ©о = (n/l) V(F/М)- На рисунках Г и Д представлены две более высокие гармоники с частотами 2а>о и 4ш0, содержащие соответственно одни и три узла по длине струны. В общем случае колебание представляет собой наложение многих гармоник.
разные моменты времени показан на рис 8 6, ? и В. Тип движения, при котором струна закреплена на концах и каждый ее элемент совершает простое гармоническое колебание, называется стоячей волной. Частоту колебаний можно оценить, прибегнув к анализу размерностей. Частота может зависеть только от трех величин: от возвращающей силы, обусловленной в свою очередь натяжением струны F (единица измерения силы — кг-м-с-2), от инерции, определяемой массой М единицы длины струны (единица— кг-м-1), и от геометрии системы, т. е. длины струны I (единица — м). Получить из трех этих величин величину с размерностью частоты (единица — с-1) можно единственным способом, а именно составив комбинацию вида -y/FIM/l, и именно ей должна быть пропорциональна частота колебаний струны. В действительности для закрепленной на обоих концах струны конечной длины существует бесконечное число частот возможных коле-баний, значения которых есть со = л VFJM It, 2л VF/M //, Зл'у/р/М // и т. д. Отметим, что, хотя число частот бесконечно, они отстоят друг от друга на конечную величину. Эти частоты называются собственными в том смысле, что, каким бы ни было начальное возмущение, последующее движение струны будет пред-
ставлять собой суперпозицию (т. е. результат наложения друг на друга) колебаний именно с этими, свойственными струне частотами (см. разд. 8 6). Колебание с частотой л -\/F/M // называется основным колебанием. Если струна колеблется только с этой частотой, то она движется вверх и вниз, как это показано на рис. 8.6,А, Б, В. Колебания, происходящие с более высокими собственными частотами, называются высшими гармониками. Первая гармоника, частота которой равна 2я VF/M //, предполагает такое движение, при котором средняя точка струны остается неподвижной (рис. 8.6,Г); такая точка называется узлом. Следующие
Рис 8 7 Распространение бегущей волны в бесконечной натянутой струне Точку Р(х = 0) заставляют колебаться, она совершает простое гармоническое движение Начальное смещение (Л) приводит к тому, что элемент ВС действует с некоторой силой на элементы АВ и CD, стремясь сместить их за собой Элемент ВС возвращается к положению равновесия но, не останавливаясь, проскакивает его Непосредственно после этого струна выглядит так, как показано на рисунке Б Еще через некоторое время струна приобретает вид, представленный на рисунке В, причем возмущение распространяется в обе стороны со скоростью с
