Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
гармоники имеют больше неподвижных точек (узлов) (рис 8.6, Д). Колебание произвольного вида, являясь суперпозицией основного колебания и всех его гармоник, обычно узлов не имеет.
Рассмотрим теперь очень длинную струну, один из элементов которой, скажем ВС (рис. 8 7,А), заставляют непрерывно совершать простое гармоническое колебание с угловой частотой со и небольшой амплитудой а. В начальный момент струна выглядит так, как это изображено на рис. 8.7, А. Поскольку в струне есть натяжение, элемент ВС будет действовать на соседние элементы АВ и CD, создавая направленные вверх результирующие силы, под действием которых они также начнут двигаться вверх. Эти элементы из-за инерции будут продолжать движение вверх и тогда, когда элемент ВС начнет возвращаться к положению равновесия, и вскоре картина станет примерно такой, как изображено на рис. 8.7,Б. Элементы АВ и CD в свою очередь вызовут смещение вверх соседних элементов струны, тогда как сами устремятся к исходному положению и «проскочат» его. Этот процесс непрерывно повторяется, и колебательное движение распространяется
вдоль струны в виде бегущей волны. Каждый элемент струны совершает простое гармоническое колебание, но, чем дальше расположен он от точки начального возмущения Р, тем позже начинает колебательный цикл; это означает, что растет отставание по фазе колебаний этих элементов от колебания в точке Р. Частота и амплитуда колебаний каждого элемента равны частоте и амплитуде колебаний, заданных элементу в точке Р. Чтобы оценить скорость, с которой волна распространяется по струне в обоих направлениях, мы можем, как и прежде, использовать анализ размерностей. Единица измерения скорости распространения волны (обозначим ее через с) есть м-с-1, а единственные величины, от которых эта скорость может зависеть, суть F, М и о. Получить из них величину с требуемой размерностью можно только одним способом, и оказывается, что с должна быть пропорциональна VFjM (более строгий расчет показывает, что с в точности равна VF/M>) последнее выражение не зависит от частоты со.
Мы не будем выводить выражения для скорости волны и других величин (вывод этот довольно сложен), но поскольку далее нам часто придется прибегать к математическому представлению бегущей волны, его мы здесь получим. Рассмотрим точку X (рис. 8.7), расположенную справа от Р на расстоянии х (х здесь положительно), и движущуюся слева направо волну, проходящую через эту точку. В первый момент возмущение в точке равно нулю; оно достигает X только через время х/с, и после прохождения «фронта волны» элемент струны в точке X совершает простое гармоническое движение с частотой со и амплитудой а. Тогда поперечное смещение элемента в точке X в момент времени t (обозначим смещение через у) задается выражением ‘)
у ~ a cos {со (/ — х/с)}2). (8.10)
Это выражение описывает картину смещения, распространяющегося вправо со скоростью с. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим графики зависимости у от х для двух последовательных моментов времени t\ и fa (рис. 8.8). Для произвольного х\ в момент времени t\ смещение такое же, как в точке х = xt -f- c(fa— fi) в момент времени fa, поскольку величина (t — х/с) имеет в обоих случаях
') Подчеркнем, что рис. 8 7 и пояснение к нему относятся к процессу возникновения волны, формула (8 10) — к установившемуся в конце концов волновому процессу.— Прим. ред.
2) Выражение (8.10) предполагает, что в начале координат в момент / = 0 у — 0, a dyjdt = —to а. Если это не так, необходимо либо изменить определение момента времени, который мы принимаем за начало отсчета (/ = 0), либо добавить в фигурные скобки постоянный фазовый угол ф:
у — a cos {to (t — х/с) — q>}.
Тогда
у = a cos q> при х = 0 и t = 0.
Рис. 8.8. Графики заданной уравнением (8.10) зависимости у от х, которые построены для Лвух последовательных моментов времени t\ и 1%. Кривая для момента целиком сдвинута вправо на расстояние с(/2 — /|): значение у, получаемое из уравнения (8.10) для положения и времени t\, в точности равно значению у для положения Xi + c(t2 — tt) и времени t2. Таким образом, волна распространяется со скоростью с. Длина волны равна X.
одно и то же значение (/i — xi/c). Полученный результат означает, что за интервал времени t2 —1\ вся картина целиком сдвигается вправо на расстояние cfa — ti), а следовательно, волна распространяется со скоростью с.
Длина волны К в случае, представленном выражением (8.8) или графиком на рис. 8.8, есть расстояние по оси х, занятое одним полным колебанием. Оно равно расстоянию, пройденному волной за время одного периода колебания, который в свою очередь составляет 2я/со, так что длина волны, равная произведению скорости волны на период, есть
Х = 2лс/со. (8.11)
Как и для простого гармонического колебания одной частицы, для существования волн необходимо наличие возвращающей силы и инерции. В приведенном примере возвращающая сила обусловлена натяжением струны, а инерция — ее массой, приходящейся на единицу длины. В случае волн на поверхности жидкости (за исключением очень коротких волн, когда существенным становится поверхностное натяжение) возвращающей силой является сила тяжести, а инерция связана с наличием у жидкости конечной плотности ‘).
