Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
11__<1 X X*
А — лГ+*—Т+Г’
и искомая условная вероятность второго события равиа
X' X*
Г+Х7 1 + Х + Х**
Для вероятности потери на пучке (?„ Lt) мы таким образом получаем выражение
* » о.
1 + ХЦ-Х + Хг —(1+Х)(1+Х+-X») •
отличное от непосредственно даваемого формулами Эрланга выражения (26.2). Следовательно, формула (26.3) для вероятности потери на пучке (Z.,, Lt) является ошибочной *). Анализируя цепь рассуждений, приведших нас к этой формуле, мы легко находим источник ошибки. Обозначив через V интенсивность потока вызовов, поступающих на Lt, мы
*) Указанием на этот поучительный «парадокс» я обязан
В. К. Лезерсону.
приняли, следуя формуле Эрланга (26.1), вероятность потери на Lt для поступающего на эту линию вызова равной l-j-Х'); тем самым мы неявно допустили, что поток вызовов, поступающих на Lt, является простейшим, так как формулы Эрланга установлены нами лишь в этом предположении. То, что мы пришли к неверному результату, доказывает, что это предположение было ошибочным. Мы можем, таким образом, считать установленным, что поток вызовов, поступающих на Lt (или, что то же, теряемых на /.,), не есть простейший поток. Тем более, конечно, у нас нет оснований ожидать, чтобы простейшими оказались потоки вызовов, поступающих на L%, Lv ... Этот отрицательного характера вывод поучителен тем, что ясно' показывает, насколько важно уже для решения самых элементарных задач не ограничиваться изучением одних только простейших поступающих потоков.
Детальное, до конца идущее исследование природы потока вызовов, поступающих на любую линию Lr данного упорядоченного полнодоступного пучка, представляет собой теоретически интересную и практически важную задачу, решению которой и будет посвящена настоящая глава. Все основные результаты в этом направлении были получены Пальмом [8] в 1943 г.
Как мы уже указали в предыдущем параграфе, для вызова, поступающего на данный пучок (или, что то же, на линию Z.,), вероятность оказаться потерянным на пучке (Lt, Lt, ..., Lr) равна по формуле Эрланга
Очевидно, что вызов теряется на линии Lr тогда и только тогда, когда он теряется на пучке (?,, Lt, ..., Lr). Поэтому можно также сказать, что число Ег выражает собой вероятность потери на линии Lr; однако при этом необходимо отчетливо иметь в виду, что речь идет о вероятности
§ 27. Элементарные расчеты
У
г!
(г—1, 2, ...).
потери на Lr для вызова, поступающего на Lx, вероятность же Пг потери на Lr для вызова, поступающего на Lr, имеет другую величину, которую мы теперь должны постараться иайти. Мы можем при этом допустить, что г^>1, так как, очевидно, !!, = ?,.
Вероятность Ег того, что вызов, поступивший на Lt, будет потерян на Lr, очевидно, может быть представлена в виде произведения двух множителей: вероятности Ег_1 того, что он будет потерян на и условной вероятности его потери на Lr, если известно, что ом потерян на Lr_1 (или, что то же, поступил на Lr). Но эта условная вероятность и есть Пг; поэтому
Er=Er_t II,,
или
П, = ^- (г>1).
Несмотря на свою кажущуюся простоту, эта формула для расчетов неудобна тем, что содержит одновременно Е, и Поэтому удобнее заменить ее формулой
П'- = г + Х?г.1 (27-1)
которую мы сейчас докажем. Положим для краткости
(?2э0),
А=0
так что
Srr\
следовательно, при 1
i-i§r=T3fc=T [' +gff]=4 <'+“'->•
а это и есть (27.1). При этом необходимо иметь в виду, что % в формуле (27.1) означает интенсивность первичного по-т ка вызовов, поступающих на ?,.
Представляет существенный интерес сравнить между собой вероятности потери на различных линиях при одинаковой интенсивности поступающих на них потоков. Произведенные
подсчеты во всех случаях показывают, что эта вероятность возрастает с номером линии. В цитированной нами работе Пальм утверждает, что это непосредственно вытекает из формулы (27.1). Мы не видим, однако, как можно было бы это показать. Более того, нам вообще неизвестно, верно ли это утверждение в его общей формулировке *). Нам удалось доказать в этом направлении только следующее значительно более скромное предложение.
Теорема. Вероятность потери на LT при г 1 всегда больше, чем вероятность потери на I,, если поступающие на эти линии потоки имеют одинаковую интенсивность.
Доказательство. Если интенсивность поступающего на Z., потока равна X, то вероятность поступить на Lr для вызова, поступившего на ?,, равна Er_t (так как это есть вероятность потерпеть потерю на линиях Z.,, Lt, ...., Lr_l). Поэтому среди А, вызовов, поступающих в среднем на Lt в единицу времени, на Lr будет в среднем поступать вызовов, т. е. поток вызозоз, поступающих на Lr, будет иметь интенсивность kEr_l. При этом, как мы знаем, вероятность потери на Lr для вызозоз этого потока равна
