Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
6 = rmd2{rV2)ldy2 <Cl. (11.7.4)
На экваторе
6 = 1/[2(2/г+ I)2], (11.7.5)
что говорит о применимости теории асимптотически в пределе больших п. Асимптотическое поведение функций параболического цилиндра при больших п изучено очень хорошо. Соответствующие данные приводятся, например, в книге [196, разд. 8.4]. В окрестности критической широты I стремится к нулю, и приближение теряет справедливость. Однако, как отмечено в разд. 8.12.1, здесь можно применить другие формы приближений.
Траектории распространения групп волн (лучи) можно рассчитать с помощью методов из разд. 8.9.2. В общем виде формулы для них представлены в разд. 8.12.3. Уравнения (8.12.27) для такого луча имеют вид
dx/dt = cgx, dyjdt = cgy, или dy/dx = cgy/cgx = l/(k $/2®),
(11.7.6)
где cgx и cgy — составляющие групповой скорости, значения которых рассчитываются из дисперсионного соотношения (11.6.3) и определения групповой скорости (8.12.24). При подстановке выражения (11.7.3) для / решения, характеризующие траектории
лучей, получаются следующими:
у = ус sin [c-'Mk + P/2ffl)]. (11.7.7)
Таким образом, траектория синусоидально колеблется около экватора, максимально удаляясь от него к полюсам на расстояние, равное критической широте ус.
Влияние изменения параметра Кориолиса с широтой на ход лучей не ограничено только областью низких широт. В частности, применительно к гравитационным волнам оно было исследовано в работе Андерсона и Гилла [19]. При этом член [3/2со в уравнениях (11.7.6) и (11.7.7) мог считаться пренебрежимо малым. Если, например, в некотором небольшом диапазоне широт на достаточном удалении от экватора на океан внезапно начнет действовать однородное ветровое напряжение, то возникнут инерционные периодические колебания, которые были рассмотрены в разд. 9.3 на /-плоскости. Поскольку в соответствии с (11.7.6) энергия возмущения должна переноситься по меридиану на север или на юг, она не может остаться локализованной на широте своего зарождения. На рис. 11.3 этот эффект показан в предельном случае, когда изменения по х отсутствуют (т. е. k = 0 и применимым оказывается не соотношение (11.7.7), а первый вариант (11.7.6)). Решение для /-плоскости реализуется только на протяжении двух или трех периодов, после этого начинает сказываться распространение энергии к экватору. Позднее образуется картина движения энергии через экватор и обратно в виде группы волн, которая достаточно хорошо описывается лучевым уравнением dy/dt = cgy.
Другой эффект, связанный с экваториальным волноводом, состоит в разделении движения на дискретный набор мод п = = 1, 2 ... .Он проявляется также и в канале (разд. 10.5). Это означает, в частности, что длинные волны Пуанкаре (малые k)> которые являются гравитационными волнами с близкой к нулю групповой скоростью, могут иметь только дискретный набор частот (см. (11.6.7)), определяемых формулой
02~(2 я+ 1)рс. (11.7.8)
Отбор частот можно наблюдать по записям уровня моря в Тихом океане. Действительно, колебания (с величиной порядка сантиметров), связанные с первой бароклинной модой, достаточно велики для того, чтобы их можно было обнаружить. В то же время колебания более высоких мод уже нельзя различить, что само по себе создает эффективный фильтр. Для первой бароклинной моды с примерно равно 2,8 м/с, соотношение (11.7.8) дает период порядка 5,5 суток при п= 1,4 суток при п = 2 и
3 суток при п = 4. Соответствующие пики видны на спектре колебаний уровня моря на о. Ошен (рис. 11.4,а). Для спектра в окрестности о .Кантон (рис. 11.4, в) доминирующим является
Время, сут
Рис. 11.3. Иллюстрация p-дисперсии гравитационных волн. Напряжение ветра начинает действовать с момента t=О в поясе 2000 км < у < 2500 км. Сначала, как и на f-плоскости, генерируются локальные инерционные волны. Однако изменения f с широтой приводят к тому, что волны пересекают экватор с севера на юг и обратно. На рисунке показаны изолинии меридиональной скорости. Лучевая траектория, по которой распространяется группа волн, близка к той, которая вытекает из формулы (11.7.7). (Из работы [19, рис. 6].)
Период, сугп Период, суш
в
Рис. 11.4. Спектры колебания уровня моря: (а) у о. Ошен (1°ю. ш., 170° в. д.) и (б) у о. Кантон (3°ю. ш., 172° з. д.), на которых основные пики отвечают частотам экваториально захваченных гравитационных волн. (Из работы [876, рис. 1 и 3J.) Волна с периодом 5,5 суток идентифицируется с п = 1, периоду 4 суток отвечает п = 2, периоду 3 суток — п = 4. (в) Плотность энергии колебаний с периодом 5,5 суток для различных островов в тропической зоне Тихого океана в виде функции широты. (Из работы [876, рис. 10].) Постоянная, соответствующая горизонтальной линии, характеризует фоновый спектр. Она вычиталась из каждого значения плотности энергии. Вертикальные отрезки обозначают стандартные отклонения %2. Сплошной линией показана рассчитанная структура для волны с п— 1.
