Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
явлений на вращающейся Земле только при выполнении определенных условий, рассмотренных в разд. 7.4. Однако при малых частотах эффекты кривизны Земли могут быть очень существенными. Эти эффекты, а также условия, при которых они оказываются важными, будут рассмотрены в этой и последующих главах.
Рассмотрим сначала, следуя Лапласу, уравнения движения для слоя мелкой воды на сфере. Вертикальными движениями пренебрегаем и записываем уравнения для горизонтальных составляющих скорости (4.12.14) и (4.12.15) без учета силы трения:
- (2Q Н----—) v sin <р =--------------(11.2.1)
Dt V г cos <р / ^ рг cos ф (5л 4 ’
Dv , fon , и \ <f о.м___________ 1 (Эр
Dt
+ (2Q Н----—)usinq>=---------4е-, (11.2.2)
' г cos ф / 1 рг аф 4 7
где % — долгота, ср — широта, г — радиальная координата. Полная производная по времени, D/Dt, соответствует случаю только горизонтальных движений (вертикальными движениями пренебрегаем), и (4.12.9) дает
D а - “ 3 (п.2.3)
Dt Dt dt ' г cos ф дХ ' г дф
Кроме того, поскольку мы рассматриваем движения мелкой воды, в правых частях (11.2.1) и (11.2.2) р можно заменить на pgr). Уравнение неразрывности (см. (5.6.7)) с учетом того, что оператор дивергенции имеет вид (4.12.10), записывается так:
Ж+Т^{жин + Ч)“]+-^№ + ^сО*<е]} = 0. (11.2.4)
Эта система уравнений отличается от выведенной Лапласом лишь тем, что приливообразующие силы здесь отсутствуют. Из-за малой толщины слоя воды г можно считать постоянной, равной радиусу Земли.
Для малых отклонений от состояния покоя применима линеаризованная версия этих уравнений:
du/di — 2Q sin сро == — r~lg seccpdr\/dX, (11.2.5)
dv/dt + 2Q sin qpa = — r~lgdr\/d(p, (11.2.6)
r cos (рвц/dt -j- d {Hu)jdk + d {Hv cos <p)/d<p ¦= 0. (11.2.7)
Если снова повторить преобразования, использованные при выводе уравнения (7.2.4) для случая постоянной глубины, то появятся дополнительные слагаемые. Преобразования состоят в применении операции дивергенции к уравнениям горизонтального движения (11.2.5) и (11.2.6) и подстановке выражения для
дивергенции из (11.2.7). При этом получается
d2v)/dt2 — c2Ar] + fHt— Р#« = 0. (11.2.8)
Здесь с2 = gH, как и ранее,
f = 2Q sirup, (11.2.9)
Р = r~x clf/dq> = 2Q cos qp/r, (11.2.10)
вертикальная составляющая завихренности Е; определяется из соотношения
г cos ф? = dv/dl — д(и cos <p)/dqp, (11.2.11)
а Д — лапласиан, который в данном случае берется по горизонтальным переменным (изменения по глубине отсутствуют), т. е. (см. 4.12.20))
А = Ди55 ¦¦ г---г— ж + ----^-Гсобф^-У (11.2.12)
И cos ф ОА2 гЛ cos ф дф \ ^ дф J 4 *
Параметр Кориолиса f определен как в (7.4.1), но его производная р по направлению на север теперь входит в уравнение 11.2.8, что и позволяет учесть эффекты кривизны Земли.
Следующим шагом, следуя разд. 7.2, будет вывод уравнения завихренности (7.2.7). Для этого к уравнениям (11.2.5) и (11.2.6) применим операцию вихря, что дает
дtjdt + r~lfsecq>(dujdk-\-d(v cos ф)/дф) -J- ри = 0. (11.2.13)
В этом уравнении влияние кривизны Земли также учтено посредством p-слагаемого. При подстановке выражения (11.2.7) для дивергенции горизонтальной скорости получается уравнение потенциальной завихренности
д(?-МН)/д(+ ра = 0, (11.2.14)
которое также содержит р. Как будет показано в следующем разделе, это выражение также является возмущением уравнения
(7.10.9).
Методы решения этих уравнений на сфере или полусфере обсуждены в работах [481, 482]. Для приливов были найдены численные решения, включающие приливообразующие силы, изменение глубины и сложную форму океанов [320]. Однако подходящие приближения можно сделать для всех движений, кроме¦ тех, масштабы которых сравнимы с радиусом Земли. Для тот чтобы понять природу существующих движений, полезно сосредоточить внимание на тех из них, которые имеют масштаб, меньший, чем радиус Земли. При этом удается воспользоваться всеми возможными приближениями. Сначала будут рассмотрены волны, энергия которых в основном сосредоточена в тропиках.
Однако перед этим обсудим уравнение потенциальной завихренности для мелкого однородного океана, используя полные сферические полярные координаты.
11.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ ДЛЯ МЕЛКОГО ОДНОРОДНОГО слоя
Уравнение потенциальной завихренности для мелкого слоя однородной жидкости было выведено в разд. 7.10. Запись этого-уравнения в виде (7.10.7) отражает связь растяжения вихревых нитей и горизонтальной дивергенции. Она справедлива вне зависимости от того, является ли f постоянным или меняется, в-том числе при записи уравнения на сфере. То же верно и для уравнения неразрывности (7.10.8) и, следовательно, для уравнения потенциальной завихренности (7.10.9), являющегося формой записи теоремы Гельмгольца о вихревых нитях. В полярных координатах уравнение имеет вид
