Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
- Р№ + /2 + [2/с2). (11.8.6)
Характер дисперсии, описываемой этим соотношением, будет ¦более полно исследован в гл. 12.
Максимальная групповая скорость Восточного направления
Короткие
планетарные
волны
Восточная групповая скорость
-3
-2
—з1/2
Рис. 11.5. Характеристики дисперсионного соотношения для планетарных воли, представимого в виде со/|3а = — ka/{ 1 + (/га)2), где а2 — с/(2n + 1) Р = — c2/f\,c — скорость волны при отсутствии вращения (корень из произведения g и эквивалентной глубины), п — номер моды, /с — инерционная частота на критической широте, оз — частота, k — зональное волновое число и р — ¦скорость изменения параметра Кориолиса с широтой.
Сейчас же перед нами стоит важная задача — найти упрощения уравнений движения, которыми можно воспользоваться при изучении низкочастотных волн, и рассмотреть их динамику. Наиболее простой и последовательный путь достижения этой цели состоит во введении безразмерных координат и использовании разложения в ряды. Предположим, что необходимо найти приближения в окрестности у — г/о, где параметр Кориолиса равен
!о=$Уо' (П.8.7)
С учетом записи знаменателя в формуле (11.8.6) естественный масштаб волнового числа получается равным f0/c. Он соответствует масштабу c/f0 (локальный радиус Россби) для отклонений по оси х и по оси у относительно у0. Таким образом, безразмерные отклонения х* и у* суть
x* = fQx/c, i/ = fQ(y — yQ)/c. (11.8.8)
Из (11.8.6) следует, кроме того, выражение для масштаба ча-
стоты |Зс//о. Безразмерную временную переменную при этом зададим так:
/*=(3c//f0. (11.8.9)
Наконец, если масштаб v равен vo, то, как показывают формулы
(11.4.17) и (11.4.18), тот же масштаб надо принять и для функций q и г, и следовательно (см. (11.4.15) и (11.4.16)), для и и gr\/c. Итак, безразмерные зависимые переменные определяются следующим образом:
v* = v/vQ, u* — ufvQ, 4* — gv\/cvQ. (11.8.10)
С учетом приведенных выше определений получаем следующую запись основных уравнений (11.4.5) — (11.4.7) в безразмерных переменных:
е диГ/df - (1 + Bif) у * = - дц*/дх\ (11.8.11)
е dv*/dt* + (1 + в г/*) и* = - дц*/ду\ (11.8.12)
едц/дС + ди/дх* + dvm/dy* = 0, (11.8.13)
где
e=^/f2 = 2(ae/t/0)2 (11.8.14)
является малым параметром задачи.
Если, пытаясь получить уравнения нулевого порядка, в уравнениях (11.8.11) — (11.8.13) положить е равным нулю, то возникнет та же ситуация, что и в задаче о низкочастотных движениях на /-плоскости (см. разд. 8.16). Уравнения движения превратятся в геострофические соотношения, а уравнение неразрывности будет тривиальным образом удовлетворено. Другими словами, уравнений нулевого порядка оказывается недостаточно для однозначного определения движения жидкости, и необходимо рассматривать отклонения от геострофичности. Вот почему этот вид движений и называется квазигеострофическим.
Поскольку отклонения от геострофики имеют большое значение, характер движения зависит в решающей степени от того, какие из отвечающих за эти отклонения членов в уравнениях
оказываются наиболее существенными. В разд. 8.16 наибольшие
отклонения давали члены, характеризующие ускорения (частные производные по времени), однако, как следует из выполненных выше масштабных оценок, столь же важными для планетарных волн являются и изменения параметра Кориолиса.
Как было установлено в разд. 8.16, при решении уравнений движения (11.8.11) и (11.8.12) составляющие скорости удобно представить в виде функций от давления, сохраняя поправки первого порядка по е. Этим учитываются основные отклонения от геострофики. Выражения записываются следующим образом:
о* = (1 - &у*) дц*!дх* - гд\*!ду* df, (11.8.15)
и* = -(1 - Ъу')дг\Чду' - ед2ц/дх*дГ. (11.8.16)
Первое слагаемое представляет собой геострофическое течение, записанное с учетом изменения параметра Кориолиса с широтой, вторая — изаллобарическое течение (см. разд. 8.16).
Дивергенцию скорости можно вычислить по соотношениям
(11.8.15) и (11.8.16):
Полученная формула показывает, что масштаб дивергенции в е раз меньше, чем можно было ожидать из масштабного анализа, т. е. дивергенция меньше каждого из своих слагаемых ди* [дх* или dv*/ду*. С другой стороны, завихренность получается имеющей нулевой порядок:
(11.8.18)
дх* ду дх * ду
Таким образом, масштаб дивергенции меньше масштаба завихренности в 1/е раз.
Уравнение движения нулевого порядка находится подстановкой (11.8.17) в (11.8.13):
д
аг
(^2+Щг- лЛн- —= 0, (11.8.19)
V дх*2 ^ ду*2 J дх* К '
или в размерном виде
д
С-»- ('¦«
