Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
При учете вынуждающих сил в случае постоянной глубины Я уравнение для потенциальной завихренности, получающееся сложением д/дх от (11.4.11) с —д/ду от (11.4.10) и с произведением уравнения (11.4.2) на—(Зг//Я, имеет вид
д_
dt
(11.4.10).
(11.4.11)-
(11.4.12),
д_
dt
Используя его вместо (11.2.14), получаем аналог уравнения
(11.4.9), содержащий вынуждающие силы:
« {4- f|!l + pv) _ + pL) X - р =
dt (. с2 v dt2 1 ' ) \dx2 dy2 J J dx
_ 1 Г а Г 1 (dY *уЛмдЕ_ 1 _ JL f _l *гЛ\
~ ptf I <3* L r2 I <3/ + <3// J dx I dy + <C) г
(11.4.14)
Уравнение (11.4.14) записано для одной переменной v. Оно достаточно просто, и его можно решить. Однако для того, чтобы связать переменную и с другими, предпочтительнее работать не с переменными и и v, а с q и г [251], определяемыми формулами (10.7.9) и (10.7.10):
<7 = ?т/с + ^^(ё1Щи2Ц + и, (11.4.15)
г = g^/c — u=~{gjHf12 г\ — и. (11.4.16)
Уравнения, связывающие между собой v и q и v и очень похожи на те, которые были получены для волн в канале в
разд. 10.7. Во-первых, складывая с уравнением (11.4.10) и вычитая из него произведение g/c на (11.4.12), получим (сравнить с (10.7.11) и (10.7.12)):
¦%L + c dq + с dv --- $tjv = ¦wix~cE>¦ (11.4.17)
в( ^ dx dy
dr__ dr + с dv __L(X + cE). (11.4.18)
dt dx dy
„Два других уравнения, связывающие q с v и г с и, представляют собой разность и сумму производной по времени от (11.4.11) и •уравнения (11.4.13), умноженного на с:
= + <П'4Л9> = тн{ж+с (f-fr+f?)}- (ч-4-20)
Несмотря на то что два последних уравнения связывают переменную v последовательно с q и г, как это и требуется, некоторая дополнительная информация может быть получена при взятии производной по времени от уравнения (11.4.11), что дает
(с Ц- + Pw) + (с %-¦- р уг) + 2 . (И .4.21)
Причина, по которой эти частные формы записи уравнения полезны, станет очевидной позднее. Смысл их вывода тот же, что и в задаче о течениях в канале. Действительно, приведенные выше уравнения идентичны соответствующим уравнениям для канала, за исключением последнего члена в (11.4.19) и (11.4.20), включающего {3, и того обстоятельства, что f равняется |Ьу.
11.5. ЭКВАТОРИАЛЬНАЯ ВОЛНА КЕЛЬВИНА
Очень важное свойство экваториальной зоны состоит в том, что она выступает в качестве волновода, т. е. возмущения захватываются в окрестности экватора. Эта идея была, по-види-мому, впервые высказана в 1959 г. ёсидой — см. [530]. Наиболее просто продемонстрировать эту особенность экватора можно с помощью модели экваториальной волны Кельвина. Свое название она получила из-за большого сходства с береговой захваченной волной Кельвина, изучавшейся в разд. 10.4. Как и в случае береговой волны, движение происходит только в одном направлении, параллельно экватору. При этом уравнения (11.4.5) и
(11.4.7) дают
du/di — — gdr\/dx, d,x\ldtJrHduldx — 0. (11.5.1)
Эти соотношения совпадают с (10.4.1) и (10.4.2) для береговой волны Кельвина. Поэтому решение, как и в случае береговой волны, имеет форму (10.4.3). В каждой плоскости у =
— const движение полностью совпадает с тем, которое было бы при отсутствии вращения.
Поскольку соотношение (10.4.4) (при f = (3#) требует выполнения условия геострофического равновесия между зональной скоростью и меридиональным градиентом давления, можно сказать, что эффекты вращения не позволяют движениям в разных плоскостях у— conjst не зависеть друг от друга. Подстановка
(10.4.3) в (10.4.4) дает по-прежнему (10.4.5), но теперь при f — рг/. Необходимо найти решение, затухающее при у-^-±оо. Оно представляется функцией G' и удовлетворяет уравнению
___ dG'ldy = -{$ylc)G', (11.5.2)
где c — 's/gH. Решение (см. (10.4.6)) имеет вид
G' = ехр — $у2/с^ G (х — ct), (11.5.3)
Для него характерно затухание возмущения на расстояниях порядка ае, где ае, определяемое формулой
Яе = (с/(2р))1Й, (11.5.4)
называется из-за своей связи с масштабом затухания в случае /-плоскости экваториальным радиусом деформации [251]. (От-
метим, что в соответствии с формулой (11.6.4) из разд. 11.6 в выражении (11.5.4) имеется множитель 2.)
Полное решение для волны Кельвина ((см. 10.4.3) и (11.5.3)) имеет вид
11 = exp j |Зг/2/с) G (х — с/),
« = (g/c)exр (—у $У2/с) G(x — ct), (11.5.5)
v = 0.
Кроме того, следуя (11.4.16), имеем /- = 0 и, в соответствии -с (11.4.15), q = 2и. (Решение показано на рис. 11.2,а.)
